FEM Handrechnung 2 7
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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C..
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
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NL..
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4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse
4.6 Elemente mit höherer Ansatzfunktion: 8 Elemente mit quadratischem Ansatz, gleiche Länge
Das vorher dargestellte Beispiel verwendete die quadratischen Ansatzfunktionen mit einer Diskretisierung des Bauteils mit 2 Elementen. Hier wird nun auf dieser Grundlage der Grundsatz der FEM "Die Ergebnisse werden mit wachsender Anzahl von Elementen besser" angewendet und die Anzahl der Elemente von 2 auf 8 erhöht.
In der hier folgenden Abbildung ist diese Aufteilung des Bauteils in 8 Elemente mit quadratischem Ansatz skizziert. Das Finite-Element-Modell hat jetzt 17 Knoten und entsprechend 17 Stützstellen für die Verschiebungen. Die folgende Abbildung zeigt das Bauteil in der Seitenansicht.
In der Skizze oben, die die konische Form des Bauteils zeigt, sind die 8 Elemente als blaue Rechtecke zu sehen.
Das diskretisierte Bauteil darunter zeigt die 8 Elemente (rechteckig umrandete Ziffern) und 17 Knoten (rund umrandete Ziffern). Von diesen Knoten sind
- die Knoten 1, 3 usw. bis 17 diejenigen, die an den Enden der jeweiligen Elemente liegen (rund, rot markiert), und
- die Knoten 2 ,4 usw. bis 16 liegen in der Mitte der jeweiligen Elemente (rund, orange markiert). Dies sind die Zwischenknoten oder Kantenmittenknoten.
Darunter ist das diskretisierte Bauteil mit der Approximation der Verschiebungen gezeigt. Dies ist hier eine Funktion mit 8 Abschnitten in Parabelform (quadratische Funktion).
Für dieses Modell wird im Prinzip die gleiche Berechnung durchgeführt wie vorher beschrieben, nur dass hier jeweils mehr Wiederholungen stattfinden. Für die Elementsteifigkeitsmatrix jedes der 8 Elemente ergibt sich eine Anordnung von 3x3 Zahlenwerten. Das Gleichungssystem wird aus diesen Zahlen zusammengesetzt zu dem prinzipiellen Aufbau
Wie vorher ist auf der Hauptdiagonalen im mittleren Bereich die Summe der Beiträge der Elemente zu finden. Der Verschiebungsvektor {u} enthält den Wert 0 für Knoten 1 (die Festhaltung) und die unbekannten Verschiebungen der Knoten 2 bis 17. Der Vektor der Kräfte {F} auf der rechten Seite der Gleichung zeigt die unbekannte Reaktionskraft R an Knoten 1 und die außen angreifende Kraft am Knoten 17.
Die Lösungsschritte dieses Gleichungssystems mit dem Gauß'schen Algorithmus (also mit Vorwärtselimination und Rückwärtselimination) wird hier nicht im Detail vorgeführt. Die Schritte sind in dem Ausgangsmodell nachvollziehbar.
Das Ergebnis der Lösung ist der Verschiebungsverlauf, gegeben durch die Verschiebungswerte der 17 Knoten des Modells:
In dem Diagramm dieses Verschiebungsverlaufes kann man kaum noch einen Unterschied von der theoretischen Lösung erkennen.
Der Spannungsverlauf für dieses Modell sieht so aus wie in der folgenden Abbildung gezeigt.
Das Diagramm des Spannungsverlaufes zeigt für jedes der 8 Elemente wie vorher einen linearen Funktionsabschnitt.
Was ist das Wesentliche hierbei?
Der Berechnungsablauf folgt den gleichen Regeln wie bisher. Der höhere Grad der Ansatzfunktion der Elemente ergibt eine andere Relation von Elementen und Knoten im Modell. Im Vergleich mit den Beispielen mit Elementen mit linearer Ansatzfunktion zeigt sich:
- die Anzahl der Knoten, damit der Freiheitsgrade und damit der numerische Aufwand bei der Lösung nimmt zu,
- mit höherem Grad der Ansatzfunktion kann man mit weniger Elementen auskommen und
- der örtliche Gradient der Ergebnisse (örtliche Änderung) kann besser abgebildet werden.
Der Vorteil der bessseren Abbildung des örtlichen Gradienten der Ergebnisse (örtliche Änderung) kann im Alltag beeinträchtigt werden durch Nichtlinearitäten wie Plastizität oder Kontakt.
Im praktischen Alltag der FEM-Simulation ist ein solcher Vergleich von linearen und quadratischen Elementen zum Beispiel sinnvoll,
- wenn ein Modell vorliegt (zum Beispiel aus CAD), aber noch keine Diskretisierung (Vernetzung in Elemente und Knoten) erfolgt ist: dann kann zwischen vielen Elementen mit linearem Ansatz (mehr Aufwand bei der Diskretisierung) oder weniger Elementen mit quadratischem Ansatz (weniger Aufwand bei der Diskretisierung) gewählt werden; bei der Lösung wird etwa gleicher Aufwand notwendig sein;
- wenn ein Modell vorliegt und schon eine Diskretisierung (Vernetzung in Elemente und Knoten) erfolgt ist: dann gibt es bei Elementen mit linearem Ansatz weniger Knoten als bei Elementen mit quadratischem Ansatz; die Lösung wird für die quadratischen Elemente mit der größeren Anzahl von Knoten mehr Aufwand erfordern; die Ergebnisse werden genauer sein.
Eine weitere Erhöhung des Grades der Ansatzfunktion ist mit p-Elementen möglich. Diese Vorgehensweise hat sich im Alltag allerdings nicht durchgesetzt, weil die Ergebniswerte (Verschiebungen, Dehnungen, Spannungen) durch den quadratischen Ansatz ausreichend abgebildet werden.
