FEM Handrechnung 1 3

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FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Mechanik)

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Eine Übersicht über alle Varianten, die für dieses einfache Beispiel untersucht werden, finden Sie hier.

2. Analytische Lösung

Das Beispiel war in Abschnitt A beschrieben worden.

Hier jetzt in Abschnitt B (Seiten B1 bis B3) wird diese Aufgabe analytisch exakt gelöst. Dies soll zunächst getan werden, um später die Ergebnisse der FEM-Rechnung bewerten zu können.

Die analytische Lösung geht von der Differentialgleichung aus, die das Problem mathematisch beschreibt. Die Differentialgleichung wird für ein idealisiertes System aufgestellt. Danach muss die Differentialgleichung gelöst werden. Die Lösung liefert eine Funktion einer charakteristischen Größe (z.B. der Verformung). Durch Ableitung der Funktion können weitere gewünschte Ergebnisse (z.B. Spannungen) bestimmt werden.

2.1 Analytische Lösung: Idealisierung

Der Verlauf der Querschnittsfläche in Abhängigkeit von der Längsrichtung x (die Eckdaten sind links A(0) = 50 mm², rechts A(100) = 10 mm² und dazwischen linear veränderlich) kann geschrieben werden als

In diesem Beispiel ist eine Dimension (die Länge) groß gegenüber den beiden anderen Dimensionen (Breite, Höhe). Als Belastung liegt nur eine Längsbelastung in Richtung dieser Länge vor. Für diese Bedingungen bietet es sich an, die Theorie eines Fachwerkstabes zugrunde zu legen. Der Stab wird in der Ebene (x,y) und längs der x-Achse liegend betrachtet. Mit dieser Vereinfachung bleibt die folgende Berechnung überschaubar.

Bei dieser Vereinfachung wird davon ausgegangen, dass jeder Querschnitt an einer bestimmten x-Koordinate (also mit der Querschnittsfläche A(x) entsprechend der Gleichung oben) sich als Ganzes gemeinsam verschiebt. Diese Bedingung ergibt "ebene Querschnitte".

Es ist zu beachten, dass bei der Wahl dieser Theorie Details der Lasteinleitung, die lokaler Natur sind, nicht erfasst werden können. Die Abbildung rechts zeigt, dass diese Störungen auf einen kleinen Bereich beschränkt bleiben und für eine globale Betrachtung außer acht bleiben können. Die Abbildung zeigt das Bauteil mit einer Lasche für die Lasteinleitung. Die Kraft greift am Innenrand der Bohrung an. An dem Querschnitt, der für unser vereinfachtes Beispiel das Ende darstellt (als rot gestrichelte Linie gezeigt und im rechts gezeigten vergrößerten Ausschnitt "abgeschnitten"), liegt eine sehr ungleichmäßige Verteilung der Spannung in Längsrichtung vor. Der Verlauf der Spannung über den Schnitt ist ganz rechts als Diagramm eingezeichnet. Für unsere weitere Betrachtung wird die Ungleichmäßigkeit dieses Spannungsverlaufes nicht weiter untersucht, sondern nur der Mittelwert dieses Verlaufes berücksichtigt.

Wenn der Einfluss der geometrischen Form des Lasteinleitungsbereiches jedoch untersucht werden soll, muss eine Modellierung mit einem höheren Detaillierungsgrad gewählt werden. Nach dem de Saint-Venantschen Prinzip (de Saint-Venant 1797 - 1886) kann die Störung in der Nähe einer konzentrierten Krafteinleitung in einer Entfernung von der Größe der Querschnittsabmessung am rechten Ende als praktisch abgeklungen angesehen werden. Dieser Abstand wird auch als Abklinglänge (die-away length) bezeichnet.

Insgesamt enthalten diese Annahmen der Idealisierung viele Vereinfachungen. Damit können wir die Details betrachten und das Prinzip der FEM untersuchen. Wenn Sie den anderen Weg gehen möchten und von einer umfassenden und realitäts-nahen Simulation beginnen möchten, dann sehen Sie bei Abschnitt E "Das einfache Beispiel mit alltags-gerechter Vernetzung" nach. Dort wird die Simulation dieses einfachen Beispiels mit höherem Detaillierungsgrad begonnen und nach und nach Vereinfachungen vorgenommen.

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