Diskretisierung
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engl: discretization, meshing Kategorie: 
Level 1
Allgemeine Informationen wie bei wikipedia:Diskretisierung betreffen nicht direkt den Bereich der CAE-Simulationen.
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Simulation
Die Diskretisierung ist die Aufteilung des Berechnungsgebietes in kleine Teile. Mit der Diskretisierung wird nach der Idealisierung das idealisierte Modell als Berechnungsmodell im Rechner aufbereitet. Bei der Diskretisierung wird zunächst darüber entschieden, welcher Element-Typ verwendet wird. Dann wird das Bauteil (also das Berechnungsgebiet) in kleine Teile - also die "Finiten Elemente" - aufgeteilt. Dies wird meistens teilweise oder vollständig automatisch vom Simulationsprogramm ausgeführt (siehe auch Vernetzung).
In der praktischen Anwendung der Finite-Element-Methode ergibt die Diskretisierung die Elemente und Knoten des Bauteils. Hierfür wird auch die Bezeichnung "Vernetzung" (meshing) verwendet, weil die Aufteilung des Bauteils wie ein Netz aussieht, das über das Bauteil gelegt wird.
Eine wichtige Einstellung bei der Diskretisierung ist die Wahl der Netzdichte. Dabei ist zu entscheiden zwischen
- möglichst vielen und kleinen Elementen (dadurch wird die Genauigkeit der Simulation erhöht, vergleiche hierzu den Grundsatz 1 der FEM: Die Ergebnisse werden mit wachsender Anzahl von Elementen besser) und
- möglichst wenig Elementen (dadurch wird der numerische Aufwand gering).
Darüber hinaus kann die Netzqualität mit einer Reihe von Kriterien beurteilt werden.
Bei der Finite-Volumen-Methode werden bei der Diskretisierung die finiten Volumen gebildet.
Durch die Diskretisierung wird aus den Differentialgleichungen, die der Simulation zugrunde liegen, ein Satz von algebraischen Gleichungen. Zusammen mit anderen Bedingungen ergibt sich daraus ein Gleichungssystem, das bei der Simulation zu lösen ist. Üblicherweise wird dieses Gleichungssystem in Matrizen-Schreibweise dargestellt. Für Finite-Element-Anwendungen der Mechanik wird aus der rechts dargestellten Differentialgleichung durch die Diskretisierung und andere Bedingungen das unten dargestellte Gleichungssystem.
Die Abweichung, die durch den Näherungscharakter der Diskretisierung bedingt ist, wird als Diskretisierungsfehler bezeichnet.
Zusammenhang
Nach der
- der Idealisierung ist
- die Diskretisierung
die Voraussetzung für die weiteren Schritte der Simulation:
- die Lösung,
- die Auswertung und
- die Bewertung.
Beispiele
Getriebegehäuse eines Traktors
Die Abbildung rechts zeigt das Getriebegehäuse eines Traktors. Das Getriebe ist am Motor montiert. Das Getriebegehäuse mit den Halbachsen trägt die Lasten, die auf die beiden Antriebsräder wirken. Dadurch ist seine mechanische Festigkeit von besonderer Bedeutung für die Betriebssicherheit.
Für eine Auslegungsberechnung der mechanischen Festigkeit wird eine statische Simulation eines maßgebenden Lastfalles durchgeführt. Dazu wird zunächst eine grobe Diskretisierung mit Volumen-Elementen mit Kantenmittenknoten gewählt. Diese grobe Diskretisierung ist in der Abbildung rechts dargestellt.
Die Simulation zeigt im Bereich dieser Verrundung relativ hohe Spannungen. Für die Bewertung wird hier eine ausreichende Genauigkeit der Ergebniswerte gefordert.
Daher wird eine weitere Simulation mit einer lokalen Netzverfeinerung durchgeführt. Dabei wird in dem Bereich der Verrundung eine feinere Netzaufteilung eingestellt. In der Abbildung rechts ist diese geänderte Aufteilung im rechten Teilbild dargestellt.
Der Vergleich der Spannungen (zum Beispiel der maximalen von Mises Vergleichsspannung an der Bauteil-Oberfläche) zwischen der groben und der feinen Netzaufteilung zeigt Werte in der Größenordnung von 40 MPa und 70 MPa. Damit ist qualitativ der Einfluss der Netzfeinheit erkennbar (siehe dazu auch die FEM Statements).
Näheres zu diesem Beispiel finden Sie auch bei cadfem.de/openhouse
Halteschlaufe
Rechts ist eine Halteschlaufe dargestellt. Sie war bereits bei der Idealisierung vorgestellt worden. An der Wand ist sie perfekt befestigt. An der Bohrung wirkt eine Kraft. Für die Simulation wird die Finite-Elemente-Methode verwendet.
Bei der Diskretisierung für das mechanische Verhalten wird die Halteschlaufe in viele kleine Elemente geteilt. Jedes dieser Elemente ist ein 8-eckiges Volumen-Element. Die Eckpunkte der Elemente sind die Knoten. Die Netzfeinheit ist zunächst relativ einheitlich über das ganze Modell. Um die Genauigkeit zu erhöhen und den Diskretisierungsfehler zu reduzieren, kann noch lokal im Bereich der Rundung verfeinert werden.
Dieses Beispiel ist auch weiter verfolgt zur Auswertung.
Traglasche
Diese Abbildung rechts zeigt eine Traglasche an einem relativ dünnwandigen Gehäuse. Hier ist die Rundung der Schweißnaht-Oberfläche an der Ecke wichtig, die in dem linken Teilbild mit A gekennzeichnet ist. An dieser Position soll die lokale Spannung für einen Ermüdungsnachweis berechnet werden.
Bei der Diskretisierung für das mechanische Verhalten wird zunächst das gesamte Modell relativ grob in Elemente aufgeteilt. Um an der Position A die Genauigkeit zu erhöhen, wird dieser Bereich gekennzeichnet und lokal verfeinert.
Netzaufteilung bei Strukturdynamik
Bei Anwendungen der Strukturdynamik muss das dynamische Verhalten des Bauteils berücksichtigt werden. Die Abbildung rechts zeigt eine rechteckige dünne Platte, die im Zentrum mit einer periodischen Last angeregt wird. Die Abbildung zeigt die 1. Eigenform für den Fall der Anregung mit einer niedrigen Frequenz (linkes Teilbild), einer mittleren Frequenz (Mitte) und einer hohen Frequenz (rechtes Teilbild). Die Netzaufteilung sollte so gesteuert werden, dass jede Welle der Verschiebungen durch mindestens 4 Elemente dargestellt wird. Das ergibt, dass der Anwender bereits vor der Simulation die für ihn wichtigen Eigenformen abschätzen sollte und entsprechend die Netzaufteilung steuern sollte.
Tips und Tricks
Die Netzaufteilung für eine statische Simulation der Strukturmechanik sollte in Oberflächen-Nähe und besonders an Kanten oder Rundungen fein sein, denn dort treten signifikante Spannungen auf. Die Netzaufteilung für Temperaturfeld-Simulationen kann im allgemeinen relativ grob sein, weil das Ziel der Simulation meistens die Temperaturen sind (also die primären, direkten Ergebnisgrößen), selten jedoch die Gradienten oder Wärmestromdichten (die sekundären, abgeleiteten Ergebnisgrößen). Bei Magnetfeld- und CFD-Simulationen ist oftmals besonderes Augenmerk auf die Randbereiche zu richten, weil dort Effekte wie Wirbelströme oder Grenzschichten wichtig sind.
Medical/Biomechanik
Bei Anwendungen im medizinischen Bereich (Medical/Biomechanik) ist die Diskretisierung geprägt durch die patienten-spezifischen Bedingungen. Weitere Anmerkungen zur Diskretisierung in diesem Bereich finden Sie hier.
Selbststudium
Einfaches Beispiel der Strukturmechanik
Für ein einfaches Beispiel der Strukturmechanik wird hier die Diskretisierung der Aufgabenstellung mit Zahlenwerten gezeigt (2 Seiten, 15 min).
