FEM Handrechnung 2 3

Aus ESOCAETWIKIPLUS

Wechseln zu: Navigation, Suche
Rueck.jpg
FEM-Theorie: Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse (Mechanik): 4 und mehr Elemente
Vor.jpg

0      A..      B..      C..      D1   D2   D3   D4   D5   D6   D7   D8      E..      Z..      NL..      T..

Icon-theorie-0.jpg


4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse

4.2 Höhere Anzahl von Elementen: 8 Elemente mit linearem Ansatz, gleiche Länge

FEM Hand 2 3-2.jpg

Bei der Verwendung von acht Elementen mit linearem Ansatz wird nach dem gleichen Prinzip wie vorher vorgegangen. Die Daten, die zur Bestimmung der Elementsteifigkeitsmatrizen einzusetzen sind, sind in der nebenstehenden Tabelle aufgelistet. Die Elementlänge ist nochmal geringer als vorher. Als Querschnittsfläche ist jeweils der Wert aufgelistet, der für die Elementmitte zutrifft.

Acht Elemente mit linearem Ansatz

In der hier folgenden Abbildung ist die Aufteilung des Bauteils in 8 Elemente mit linearem Ansatz skizziert. Wie vorher ist die Länge des Modells in x-Richtung (horizontal) in gleiche Teile aufgeteilt, jedes Element hat die gleiche Länge. Das Finite-Element-Modell hat jetzt 9 Knoten und entsprechend 9 Stützstellen für die Verschiebungen. Die folgende Abbildung zeigt das Bauteil in der Seitenansicht.

FEM Hand 2 3-1.jpg


Darunter ist das diskretisierte Bauteil mit 9 Knoten (rote Kreise mit Ziffern) und 8 Elementen (blau umrandete Ziffern) skizziert. Als Approximation der Verschiebungen ergibt sich eine Funktion mit 8 linearen Abschnitten.

Für dieses Modell wird im Prinzip die gleiche Berechnung durchgeführt wie vorher beschrieben. Für die 8 Elemente ergeben sich die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrizen zu
Ke1=798000, Ke2=714000, Ke3=630000, Ke4=546000,
Ke5=462000, Ke6=378000, Ke7=294000, Ke8=210000,
Das Gleichungssystem wird aus diesen Zahlen der einzelnen Elemente zusammengesetzt zu

FEM Hand 2 3-3.jpg

Wie vorher ist auf der Hauptdiagonalen im mittleren Bereich die Summe der Beiträge der Elemente zu finden. Ein Faktor von 1000 ist für alle Zahlenwerte der Matrix als Multiplikator herausgezogen. Die Zahlenwerte für die Elemente 1 bis 8 werden stetig kleiner, denn sie sind wie bisher nach

FEM Hand 2 3-6.jpg

aus dem Elastizitätsmodul E (für alle 8 Elemente gleich) mal der Querschnittsfläche Ami (für die Elemente 1 bis 8 stetig abnehmend) geteilt durch die Länge Li (für alle Elemente gleich) berechnet.

Der Verschiebungsvektor enthält den Wert 0 für Knoten 1 (die Festhaltung) und die unbekannten Verschiebungen der Knoten 2 bis 9. Der Vektor der Kräfte auf der rechten Seite der Gleichung zeigt die unbekannte Reaktionskraft R an Knoten 1 und die außen angreifende Kraft am Knoten 9.

Das Ergebnis der Lösung sind die Verschiebungen der Knoten:

FEM Hand 2 3-7.jpg

Der Verschiebungsverlauf über die Länge des Modells, gegeben durch die Verschiebungswerte der 9 Knoten des Modells, ist hier dargestellt:

FEM Hand 2 3-4.jpg

Der Verlauf der Spannungen über die Länge des Modells ist hier unten gezeigt

FEM Hand 2 3-5.jpg

Was ist das wesentliche hierbei?

Wie mit 2 und 4 Elementen wird hier mit 8 Elementen die Berechnung aufwändiger, aber das Ergebnis genauer. Der Grundsatz 1: „Die Ergebnisse werden mit wachsender Anzahl von Elementen besser“ wird bestätigt.


Rueck.jpg
Vor.jpg


Mechanik    Alle

Persönliche Werkzeuge
Namensräume
Varianten
Aktionen
Navigation