FEM Handrechnung 2 4

Aus ESOCAETWIKIPLUS

FEM-Theorie: Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse (Mechanik): 4 und mehr Elemente

0      A..      B..      C..      D1   D2   D3   D4   D5   D6   D7   D8      E..      Z..      NL..      T..

4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse

4.3 Höhere Anzahl von Elementen: 8 Elemente mit linearem Ansatz, unterschiedliche Länge

Hier werden wie bei der vorher dargestellten Variante acht Elemente mit linearem Ansatz verwendet. Die Teilung in Längsrichtung wird aber so vorgenommen, dass links im breiten Querschnitt ein langes Element, rechts im schmalen Querschnitt ein kurzes Element und dazwischen ein gleichmäßiger Übergang der Längsteilung entsteht. Die Daten, die sich dabei ergeben und die zur Bestimmung der Elementsteifigkeitsmatrizen einzusetzen sind, sind in der nebenstehenden Tabelle aufgelistet. Die Elementlänge ist unterschiedlich. Als Querschnittsfläche ist jeweils der Wert aufgelistet, der für die jeweilige Elementmitte zutrifft.

Acht Elemente mit linearem Ansatz und unterschiedlicher Länge

In der hier folgenden Abbildung ist die Aufteilung des Bauteils in 8 Elemente mit linearem Ansatz skizziert. Anders als vorher ist die Länge des Modells in x-Richtung (horizontal) in unterschiedlich lange Teile aufgeteilt, jedes Element hat von links nach rechts abnehmende Länge. Das Finite-Element-Modell hat wie vorher 9 Knoten und entsprechend 9 Stützstellen für die Verschiebungen. Die folgende Abbildung zeigt das Bauteil in der Seitenansicht.

Darunter ist das diskretisierte Bauteil mit 9 Knoten (rote Kreise mit Ziffern) und 8 Elementen (blau umrandete Ziffern) skizziert. Als Approximation der Verschiebungen ergibt sich eine Funktion mit 8 linearen Abschnitten.

Auch für dieses Modell wird im Prinzip die gleiche Berechnung durchgeführt wie vorher beschrieben. Für die 8 Elemente ergeben sich die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrizen wie oben in der Tabelle angegeben zu
K_e1=249000, K_e2=276000, K_e3=318000, K_e4=381000,
K_e5=479000, K_e6=628000, K_e7=857000, K_e8=1209000.
Das Gleichungssystem wird aus diesen Zahlen der einzelnen Elemente zusammengesetzt zu

Wie vorher ist auf der Hauptdiagonalen im mittleren Bereich die Summe der Beiträge der Elemente zu finden. Ein Faktor von 1000 ist für alle Zahlenwerte der Matrix als Multiplikator herausgezogen. Die Zahlenwerte für die Elemente 1 bis 8 werden in diesem Fall stetig größer, weil hierbei sowohl die Querschnittsfläche A_mi (für die Elemente stetig abnehmend), aber auch die Länge L_i (für die Elemente noch stärker stetig abnehmend) eingehen.

Der Verschiebungsvektor enthält den Wert 0 für Knoten 1 (die Festhaltung) und die unbekannten Verschiebungen der Knoten 2 bis 9. Der Vektor der Kräfte auf der rechten Seite der Gleichung zeigt die unbekannte Reaktionskraft R an Knoten 1 und die außen angreifende Kraft am Knoten 9.

Das Ergebnis der Lösung sind die Verschiebungen der Knoten:

Der Verschiebungsverlauf über die Länge des Modells, gegeben durch die Verschiebungswerte der 9 Knoten des Modells, ist hier dargestellt:

Die Spannungen in den Elementen ergeben sich zu

Der Verlauf der Spannungen über die Länge des Modells ist hier unten gezeigt

Was ist das wesentliche hierbei?

Gegenüber der Variante vorher sind hier ebenfalls 8 Elemente verwendet worden. Die Berechnung ist kaum aufwändiger, aber das Ergebnis genauer. Dies entspricht dem Grundsatz 2: "Bei Elementverdichtung im Bereich hoher Spannungsgradienten werden die Verschiebungen und insbesondere die Spannungen wesentlich besser wiedergegeben."

Merke: eine Verfeinerung der Aufteilung des Modells (Vernetzung) sollte insbesondere an Störstellen (Bereiche hoher Spannungsgradienten) konzentriert werden.

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