FEM Handrechnung 1 6
Aus ESOCAETWIKIPLUS
FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Mechanik)0
A..
B..
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
D..
E..
Z..
NL..
T..
3. Anwendung der Finite-Elemente-Methode
Das Beispiel war in Abschnitt A beschrieben worden. In Abschnitt B wurde eine analytische (theoretische) Lösung gezeigt.
In diesem Abschnitt C (Seite C1 bis C12) soll die Finite-Elemente-Methode zur Lösung des Beispiels angewendet werden.
Hier in diesem Beispiel für das Selbststudium werden Vereinfachungen bei der Modellerstellung gewählt, um die wesentlichen Eigenschaften hervorzuheben und das Beispiel im Detail verfolgen zu können. So wird z. B. die Belastung nur in den Knoten eingeleitet. Lastvektoren für Elementbelastungen (Gleichlast, Temperatur) werden in einem späteren Teil ergänzt. Die Geometrie der Struktur wird vereinfachend parallel zur x-Achse ausgerichtet betrachtet. Für eine allgemeine Lage der Geometrie im Raum sind umfangreichere Gleichungen aufzustellen. Um den Schreibaufwand gering zu halten, wird die Struktur zunächst nur in zwei Elemente aufgeteilt. Später werden mit größerer Anzahl von Elementen und mit Elementverdichtung an Stellen hoher Spannungsgradienten bessere Lösungen erzielt.
Die Vorgehensweise bei einer FEM-Analyse kann in 5 Schritte eingeteilt werden. Diese sind:
- 1. Idealisierung: der Anwender wählt die Theorie und den Element-Typ aus. Dies ist ausschließlich Denk- und Entscheidungsarbeit des Anwenders.
- 2. Diskretisierung: im praktischen Alltag auch Vernetzung genannt. Die Geometrie wird in Bereiche bzw. Elemente aufgeteilt. Dies übernimmt das FEM-Programm unter Kontrolle des Anwenders. Für die jeweiligen Bereiche wird ein Verschiebungsverlauf angenommen (z. B. linearer Verlauf). Unbekannt sind die Stützwerte (hier Verschiebungen) an den Elementgrenzen (Knoten).
- 3. Lösung: Dies führt das FEM-Programm aus. Zur Lösung zählen
- 1. das Aufstellen des Gleichungssystems. Dabei werden zunächst die Elementsteifigkeitsmatrizen berechnet. Damit wird das Gleichungssystem des gesamten Bauteils zur Bestimmung der Unbekannten an den Knoten (hier Verschiebungen) aufgestellt.
- 2. Dann wird das Gleichungssystem gelöst. Das Ergebnis sind Zahlenwerte für die Unbekannten, also die Verschiebungen an den Knoten.
- 3. Anschließend erfolgt die Rückrechnung. Dabei werden auf Elementebene die Verschiebungen verwendet, um daraus im Element die Dehnungen und Spannungen zu bestimmen.
- 4. Auswertung: Darstellung der Ergebnisse und Plausibilitätskontrolle. Hiermit stellt das FEM-Programm die Ergebnisse für den Anwender praxisgerecht als Grafiken oder Listen dar.
- 5. Bewertung: Interpretation der Ergebnisse. Hierzu gehören Schlussfolgerungen des Anwenders.
Diese Schritte werden auf den folgenden Seiten im Detail betrachtet.