FEM Handrechnung 2 5

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FEM-Theorie: Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse (Mechanik): 4 und mehr Elemente

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4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse

4.4 Elemente mit quadratischem Ansatz: Einführung

Eine Verbesserung der Ergebnisse kann nicht nur mit mehr Elementen erreicht werden, sondern auch mit Elementen mit höherer Ansatzfunktion. Anstelle eines linearen Verschiebungsansatzes wird jetzt ein quadratischer Ansatz gewählt. Beim quadratischen Ansatz muss für die zusätzliche unbekannte Konstante (Freiheitsgrad) ein zusätzlicher Knoten eingeführt werden. Dieser wird üblicherweise in der Mitte angenommen und wird Zwischenknoten oder auch Kantenmittenknoten genannt.

Die quadratische Funktion des Verschiebungsansatzes kann geschrieben werden als

In der Abbildung rechts ist ein Element dargestellt. Es hat die Länge L. Dieses Element mit quadratischem Ansatz hat 3 Knoten: Knoten 1 liegt am linken Ende, Knoten 2 in der Mitte und Knoten 3 am rechten Ende des Elementes.

Wie beim linearen Verschiebungsansatz gezeigt, können wir die Verschiebung u(x) auch durch ein Produkt der Formfunktionen N und der Knotenverschiebungen ausdrücken. Die Formfunktionen sind in der Abbildung als mathematische Beschreibung gezeigt. Jede der Formfuntionen repräsentiert einen typischen Funktionsverlauf über die Länge L des Elementes:

• N₁ für die Stützwerte u₁=1, u₂=0 und u₃=0,
• N₂ für die Stützwerte u₁=0, u₂=1 und u₃=0 und
• N₃ für die Stützwerte u₁=0, u₂=0 und u₃=1.

Mit den Formfunktionen gemeinsam kann die Verschiebung im Element beschrieben werden als

Die Dehnungen ergeben sich damit zu

Mit

kann dies geschrieben werden als

In unserem Beispiel ist:

Die Elementsteifigkeitsmatrix [K]_e berechnet sich entsprechend zu

Die Elementsteifigkeitsmatrizen sind jetzt von der Ordnung 3,3.

Die analytische Bestimmung der Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix (1.4.2) wird jetzt wesentlich komplizierter, da umfangreichere Integrale auszuwerten sind. So muss z. B. das Integral

bestimmt werden, um den Koeffizienten K₁₁ zu erhalten. Allgemein werden die 9 Koeffizienten K_ij aus

bestimmt.

Um den Aufwand zu reduzieren, wird anstelle der analytischen die numerische Integration verwendet. Dazu wird die Gauß'sche Integrationsformel benutzt. Diese besagt, dass das Integral näherungsweise durch eine Summe der Werte der Funktionen an wohldefinierten Stellen, den sogenannten Gausspunkten (auch Integrationspunkte genannt), multipliziert mit einer Wichtungskonstante, ersetzt werden kann. Z. B. lautet die Vorschrift

wobei die Funktionswerte an den Stellen

zu nehmen sind. ξ_i sind Wichtungsfaktoren.

Die Berechnung wird im folgenden für unser Beispiel des konischen Zugstabes durchgeführt. Dabei wird die Struktur durch 2 Elemente diskretisiert.

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