FEM Handrechnung 4 1
Aus ESOCAETWIKIPLUS
0
A..
B..
C..
D..
E..
Z..
NL1 NL2 NL3
T..
Lernziel
Hier in diesem Abschnitt NL (Seiten NL1 bis NL3) finden Sie eine Folge von 3 Seiten. Zum Selbststudium sehen Sie 30 bis 45 Minuten vor.
Die bisher ermittelten Ergebnisse im einfachen Beispiel mit 2 Elementen waren mit der Annahme berechnet worden, dass das Material sich linear verhält. Die Linearität bezieht sich bei dieser Simulation der Strukturmechanik auf das Verhältnis zwischen Dehnungen und Spannungen. Der Zahlenwert, der dieses Verhältnis zwischen Dehnungen und Spannungen beschreibt, ist der Elastizitätsmodul.
Hier auf den folgenden Seiten wird der andere Fall untersucht, bei dem das Material sich nichtlinear verhält. Bei einer solchen Materialnichtlinearität ist das Verhältnis zwischen Dehnungen und Spannungen nicht mehr constant.
Auf der Seite über Materialnichtlinearität in der Mechanik sind praktische Hinweise zur Vorgehensweise bei der Simulation gegeben.
Grundlagen
Die Simulationen im technisch-wissenschaftlichen Bereich lösen die Differentialgleichungen, die das physikalische Verhalten beschreiben. Mit der Finite-Elemente-Methode können die Differentialgleichungen in Gleichungssysteme umgeformt werden, die mit numerischen Programmen lösbar sind. Die Lösung geht von bekannten Daten aus (geometrische Abmessungen, Materialdaten, äußere Randbedingungen). Als Ergebnis werden Zahlenwerte für die Freiheitsgrade (degree of freedom, DOF) geliefert, das sind die Unbekannten dieser numerischen Aufgabe.
Eine Nichtlinearität liegt prinzipiell immer dann vor, wenn die Ausgangsdaten von den Ergebnisdaten (den Freiheitsgraden) abhängig sind.
Wie wird eine Nichtlinearität bei der numerischen Lösung berücksichtigt? Auf den folgenden Seiten wird verfolgt, wie die Lösung einer FEM-Simulation mit einem nichtlinearen Materialverhalten abläuft.
Das einfache Beispiel mit linearem Stoffgesetz (so wie bisher)
Betrachten wir dazu das Beispiel des konischen Zugstabes, das bereits in dem einfachen Beispiel mit 2 Elementen verwendet wurde. Die Abbildung rechts zeigt die Problemstellung. Dort war als maßgebender Materialwert der Elastizitätsmodul vorgegeben mit E = N/mm2 (gleichbedeutend mit E = 210000 MPa), das ist der Wert für Stahl.
Welche Rolle spielt in dem dort vorgestellten Beispiel der Elastizitätsmodul? Betrachten wir hier genauer das rechte Element Nr. 2 des FEM-Modells dieses konischen Stabes. Das Element stellt den Abschnitt des Stabes dar, der in der Abbildung als grauer Querschnitt skizziert ist. Dieses Element verhält sich in der Simulation der Mechanik wie eine Feder. Die Feder ist in der Abbildung skizziert, sie verbindet die beiden Schmalseiten des rechteckigen Elementes miteinander. Wenn dieses Element (bzw. diese Feder) rechts und links durch eine Kraft gezogen wird, wird die Feder länger (und schmaler). Die gelängte Feder ist als rotes Rechteck skizziert. Das Verhältnis der relativen Längenänderung (Längenänderung bezogen auf die Ausgangslänge, auch Dehnung genannt) zur relativen Kraft (Kraft bezogen auf Querschnitt, auch mechanische Spannung genannt) ist der Elastizitätsmodul. Diese Größe ist charakteristisch für das Materialverhalten. In dem Diagramm rechts ist dieses Verhältnis eine Gerade. Solange diese Gerade nicht begrenzt ist und damit der Elastizitätsmodul für den gesamten Wertebereich als Verhältnis von Dehnung zu Spannung immer zutrifft, spricht man von einem linearen Materialverhalten.
Für Element 2 des Beispiels war in dem einfachen Beispiel mit 2 Elementen eine Längenänderung von ΔL = 0,05357 - 0,01785 [mm] berechnet worden. Zusammen mit der Ausgangslänge des Elementes von L = 50 [mm] ergibt dies eine Dehnung von ε = ΔL/L = 0,0007144 [-]. Oftmals wird die Dehnung auch in Prozent angegeben, hier beträgt sie also ε = 0,07144 [%].
Die Spannung in Element 2 wurde zu σ = 150 [N/mm²] berechnet. In der Abbildung rechts sind diese Werte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm zusammen mit der linearen Funktion, die den Elastizitätsmodul repräsentiert, eingezeichnet.
Das einfache Beispiel mit NICHTlinearem Stoffgesetz
Ein nichtlineares Materialverhalten ist für alle Bereiche der Technik typisch. Die Abbildung rechts zeigt einen solchen nichtlinearen Verlauf zusammen mit den Werten des hier betrachteten Beispiels.
Auch wenn nahezu alle Materialien im Simulations-Alltag nichtlineares Verhalten zeigen, wird oftmals mit linearem Materialverhalten gerechnet. Gründe dafür sind unter anderem,
- dass lineare Berechnungen einfacher und schneller ablaufen (wenig Rechenzeit),
- dass lineare Berechnungen einfacher zu verstehen und zu interpretieren und zu prüfen sind (übersichtlich) und
- dass viele Grenzwerte in Regelwerken darauf abgestimmt sind (praktisch).
Wie läuft die Simulation ab, wenn anstelle der linearen Funktion ein nichtlineares Materialverhalten vorliegt?
Vom Anwender der Simulation wird wie bisher die Geometrie vorgegeben und Lasten und Randbedingungen festgelegt. Hier nun wird zusätzlich das Materialverhalten beschrieben durch
- den Elastizitätsmodul und
- einen oder mehrere Wertepaare von Dehnungen und Spannungen, die die rechts gezeigte Spannungs-Dehnungs-Funktion ausreichend genau repräsentieren.
Bei der Lösung wird vom FEM-Simulationsprogramm das Gleichungssystem mit Anfangsbedingungen aufgestellt. Dabei geht der Elastizitätsmodul in die Elementsteifigkeitsmatrix jedes Elementes ein. Das Ergebnis der Lösung wird wie bisher berechnet, aber zunächst als "vorläufig" betrachtet. Die Werte werden verwendet, um eine Gleichgewichtskontrolle durchzuführen. Diese Gleichgewichtskontrolle ergibt in diesem Beispiel, dass die (aus der Dehnung berechnete) Spannung nicht der außen angreifenden Kraft das Gleichgewicht hält: es liegt ein Residuum {R} als Ungleichgewichts-Rest vor. Damit wird das Ergebnis noch nicht abschließend akzeptiert. Dies war eine Gleichgewichtsiteration.
Mit den bisherigen Ergebnissen wird eine verbesserte Berechnung aufgestellt und gelöst. Auch mit dieser neuen Lösung wird eine Gleichgewichtskontrolle durchgeführt. Sie ergibt hier auch noch ein Residuum {R}, das als inakzeptabel eingeschätzt wird. Damit ist eine zweite Gleichgewichtsiteration abgelaufen.
Mit den neuen Ergebnissen wird wieder eine verbesserte Berechnung aufgestellt und gelöst. Auch hierfür wird eine Gleichgewichtskontrolle durchgeführt. Sie ergibt jetzt ein Residuum {R}, das klein ist und als akzeptabel eingeschätzt wird. Damit ist die dritte Gleichgewichtsiteration abgelaufen.
Was ist das Wesentliche hierbei?
Wenn das Residuum {R} klein genug ist und als akzeptabel eingeschätzt wird, spricht man von Konvergenz. Der Grenzwert, der hier mit "akzeptabel" bezeichnet wird, wird Konvergenzkriterium genannt. Das Konvergenzkriterium ist niemals gleich Null, die Lösung ist immer eine (mehr oder weniger gute) Näherung an die theoretische Lösung.
Das hier dargestellte Verfahren zur Lösung des nichtlinearen Verhaltens wird Newton-Raphson-Verfahren genannt.
In dem vorliegenden einfachen Beispiel mit 2 Elementen wird das nichtlineare Materialverhalten zu größeren Dehnungen führen als bisher.
Die Spannung muss gleich bleiben, weil sie im Gleichgewicht mit der außen angreifenden Last von 3000 N steht. Diese Anordnung des Modells und der Randbedingungen und Lasten kann damit als kraftgesteuert bezeichnet werden.
Auf der folgenden Seite wird der Ablauf der Simulation nochmal etwas ausführlicher geschildert.
