FEM Handrechnung 2 2

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FEM-Theorie: Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse (Mechanik): 4 und mehr Elemente

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4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse

4.1 Höhere Anzahl von Elementen: 4 Elemente mit linearem Ansatz, gleiche Länge

Bei der Verwendung von vier Elementen mit linearem Ansatz sind zur Bestimmung der Elementsteifigkeitsmatrizen die Daten einzusetzen, die in der nebenstehenden Tabelle aufgelistet sind. Die Elementlänge ist geringer als vorher. Als Querschnittsfläche ist jeweils der Wert aufgelistet, der für die Elementmitte zutrifft.

Vier Elemente mit linearem Ansatz

In der hier folgenden Abbildung ist die Aufteilung des Bauteils in 4 Elemente mit linearem Ansatz skizziert. Das Finite-Element-Modell hat jetzt 5 Knoten und entsprechend 5 Stützstellen für die Verschiebungen. Die folgende Abbildung zeigt das Bauteil in der Seitenansicht.

Darunter ist das diskretisierte Bauteil mit 5 Knoten (rote Kreise mit Ziffern) und 4 Elementen (blau umrandete Ziffern) skizziert. Als Approximation der Verschiebungen ergibt sich eine Funktion mit 4 linearen Abschnitten.

Für dieses Modell wird im Prinzip die gleiche Berechnung durchgeführt wie vorher beschrieben, nur dass hier jeweils mehr Wiederholungen stattfinden. Für die hier jetzt 4 Elementmatrizen nach der Bestimmungsgleichung

ergeben sich für die 4 Elemente die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrizen zu
K_e1=378000, K_e2=294000, K_e3=210000, K_e4=126000,
in Matrizenschreibweise

Das Gleichungssystem wird aus diesen Zahlen zusammengesetzt zu

Wie vorher ist auf der Hauptdiagonalen im mittleren Bereich die Summe der Beiträge der Elemente zu finden. Grafisch dargestellt ist die Elementsteifigkeitsmatrix jedes Elementes im Gleichungssystem in der Gesamt-Steifigkeitsmatrix links wiederzufinden

Der Verschiebungsvektor in der Mitte enthält den Wert 0 für Knoten 1 (die Festhaltung) und die unbekannten Verschiebungen der Knoten 2 bis 5. Der Vektor der Kräfte auf der rechten Seite des Gleichungssystems zeigt die unbekannte Reaktionskraft R an Knoten 1 und die außen angreifende Kraft am Knoten 5.

Die Lösungsschritte dieses Gleichungssystems mit dem Gauß'schen Algorithmus (also mit Vorwärtselimination und Rückwärtselimination) wird hier nicht im Detail vorgeführt. Die Schritte sind in dem Ausgangsmodell nachvollziehbar.

Das Ergebnis der Lösung ist der Verschiebungsverlauf, gegeben durch die Verschiebungswerte der 5 Knoten des Modells:

Mit diesen Verschiebungswerten der Knoten und den linearen Formfunktionen der Elemente kann die Verschiebungsfunktion des gesamten Modells elementweise (also abschnittweise) aufgeschrieben werden:

Dies für Element 1 ausgeführt ergibt

Element 2

Element 3

Element 4

Das Diagramm dieses Verschiebungsverlaufes zeigt eine gute Übereinstimmung mit der theoretischen Lösung.

Der Spannungsverlauf für jedes Element ergibt sich mit

Element 1

Element 2

Element 3

Element 4

Das Diagramm des Spannungsverlaufes zeigt für jedes der 4 Elemente einen geraden konstanten Funktionsabschnitt. Dies ergibt sich wie bisher aus dem linearen Verschiebungsansatz im Element. Der Maximalwert ist aber deutlich besser repräsentiert.

Was ist das Wesentliche hierbei?

Der Berechnungsablauf folgt den gleichen Regeln wie bisher. Die höhere Anzahl der Elemente führt zu einem genaueren Ergebnis.

Dieses Beispiel zeigt, was mit dem 1. FEM-Statement gemeint ist: Die Ergebnisse werden mit wachsender Anzahl von Elementen besser.

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