FEM Handrechnung 2 6
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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A..
B..
C..
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
E..
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NL..
T..
4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse
4.5 Elemente mit höherer Ansatzfunktion: 2 Elemente mit quadratischem Ansatz, gleiche Länge
In der hier folgenden Abbildung ist die Aufteilung des Bauteils in 2 Elemente mit quadratischem Ansatz skizziert. Das Finite-Element-Modell hat jetzt 5 Knoten und entsprechend 5 Stützstellen für die Verschiebungen. Die folgende Abbildung zeigt das Bauteil in der Seitenansicht.
In der Skizze, die die konische Form des Bauteils zeigt, sind die beiden Elemente als blaue Rechtecke zu sehen.
Das diskretisierte Bauteil zeigt die 2 Elemente (rechteckig umrandete Ziffern) und 5 Knoten (rund umrandete Ziffern). In dieser Anordnung sind die Knoten unterschieden:
- die Knoten 1, 3 und 5 sind an den Enden der jeweiligen Elemente angeordnet (rund, rot markiert),
- die Knoten 2 und 4 sind in der Mitte der jeweiligen Elemente (rund, orange markiert). Dies sind die Zwischenknoten oder Kantenmittenknoten.
Darunter ist das diskretisierte Bauteil mit der Approximation der Verschiebungen gezeigt. Dies ist hier eine Funktion mit 2 Abschnitten in Parabelform (quadratische Funktion).
Für dieses Modell wird im Prinzip die gleiche Berechnung durchgeführt wie vorher beschrieben, nur dass hier jeweils mehr Wiederholungen stattfinden. Für die Elementsteifigkeitsmatrix jedes Elementes ergibt sich eine Anordnung von 3x3 Zahlenwerten. Das Gleichungssystem wird aus diesen Zahlen zusammengesetzt zu dem prinzipiellen Aufbau
Wie vorher ist auf der Hauptdiagonalen im mittleren Bereich die Summe der Beiträge der Elemente zu finden. Der Verschiebungsvektor enthält den Wert 0 für Knoten 1 (die Festhaltung) und die unbekannten Verschiebungen der Knoten 2 bis 5. Der Vektor der Kräfte auf der rechten Seite der Gleichung zeigt die unbekannte Reaktionskraft R an Knoten 1 und die außen angreifende Kraft am Knoten 5.
Die Lösungsschritte dieses Gleichungssystems mit dem Gauß'schen Algorithmus (also mit Vorwärtselimination und Rückwärtselimination) wird hier nicht im Detail vorgeführt. Die Schritte sind in dem Ausgangsmodell nachvollziehbar.
Das Ergebnis der Lösung ist der Verschiebungsverlauf, gegeben durch die Verschiebungswerte der 5 Knoten des Modells:
Das Diagramm dieses Verschiebungsverlaufes zeigt eine gute Übereinstimmung mit der theoretischen Lösung.
Der Spannungsverlauf für jedes Element ergibt sich mit
Das Diagramm des Spannungsverlaufes zeigt für jedes der 2 Elemente einen linearen Funktionsabschnitt. Dies ergibt sich aus dem quadratischen Verschiebungsansatz im Element. Der Maximalwert der Spannungen am Rand des Modells ist gut repräsentiert. Hier ist erkennbar, wie sich dies ergibt:
- aus den Verschiebungen ist in jedem Element an den Gausspunkten ein Spannungswert berechnet worden (schwarze X-Marken im Diagramm) und
- beide Spannungswerte wurden durch eine Gerade verbunden und bis zu den Enden des Elementes extrapoliert.
Die an den Enden des Elementes vorliegenden Spannungen werden als dort zutreffende Spannungen betrachtet. In der Mitte des Bauteils, wo hier die beiden Elemente aneinander grenzen, kann man den Mittelwert beider Element-Ergebnisse als Ergebnis für dieses Bauteil ansehen (Mittelung im Modell).
Was ist das Wesentliche hierbei?
Der höhere Grad der Ansatzfunktion der Elemente ergibt bei der gleichen Anzahl von Elementen eine höhere Anzahl von Knoten im Modell: wir haben es jetzt hier mit zusätzlichen Zwischenknoten (Kantenmittenknoten) zu tun. Der Berechnungsablauf bei der Lösung folgt den gleichen Regeln wie bisher.
