FEM Handrechnung 2 1

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FEM-Theorie: Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse (Mechanik): 4 und mehr Elemente

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Eine Übersicht über alle Varianten, die für dieses einfache Beispiel untersucht werden, finden Sie hier.

4. Steigerung der Genauigkeit der Ergebnisse

Hier finden Sie eine Folge von 8 Seiten (D1 bis D8). Zum Selbststudium sehen Sie 30 bis 60 Minuten vor.

Das Beispiel war in Abschnitt A beschrieben worden. In Abschnitt B wurde eine analytische (theoretische) Lösung gezeigt. In Abschnitt C war dann die Finite-Elemente-Methode angewendet worden, wobei die 2 Elemente zwar in Zahlenwerten verfolgt werden konnten, aber die Ergebnisse waren noch wenig befriedigend.

Hier in dem folgenden Abschnitt D (Seiten D1 bis D8) soll deshalb gezeigt werden, wie die Qualität der Ergebnisse durch

• Erhöhung der Elementanzahl, also eine feinere Aufteilung und damit eine Verdichtung der Elemente durch zusätzliche Elemente (H-Methode, H = Elementanzahl),
• Verdichtung der Elementanzahl in Bereichen hoher Spannungsgradienten durch Verschieben der Knoten, die Elementanzahl bleibt dabei gleich (R-Methode, R = Knotenabstand) und
• Erhöhung der Polynomordnung der Ansatzfunktionen (P-Methode, P = Polynomordnung)

verbessert werden kann. Dabei werden jeweils die einzelnen Lösungsschritte nochmals wiederholt.

Hier in dem einfachen Beispiel mit 4 oder mehr Elementen finden Sie Varianten mit

• 4.1 höhere Anzahl von Elementen: 4 Elemente mit linearem Ansatz, gleiche Länge (im Sinne der H-Methode),
• 4.2 höhere Anzahl von Elementen: 8 Elemente mit linearem Ansatz, gleiche Länge (auch im Sinne der H-Methode),
• 4.3 höhere Anzahl von Elementen: 8 Elemente mit linearem Ansatz, unterschiedliche Länge (im Sinne der R-Methode).

Nach einer prinzipiellen Einführung über

• 4.4 Elemente mit quadratischem Ansatz: Einführung

weitere Varianten des Beispiels mit

• 4.5 Elemente mit höherer Ansatzfunktion: 2 Elemente mit quadratischem Ansatz, gleiche Länge (im Sinne der P-Methode) und
• 4.6 Elemente mit höherer Ansatzfunktion: 8 Elemente mit quadratischem Ansatz, gleiche Länge.

Im Vergleich dieser Varianten wird eine Konvergenzbetrachtung der unterschiedlichen Diskretisierungen gezeigt.

Aus dem Vergleich lassen sich Grundsätze (statements) der Finite-Element-Methode (Abschnitt Z) ableiten. Mit diesen „statements" werden die wesentlichen Eigenschaften der FEM zusammengestellt.

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