Finite-Elemente-Methode

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engl: finite element method          Kategorie: Level 1 Theorie

Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Finite-Elemente-Methode

Simulation

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist eine Simulationsmethode, bei der kleine Bereiche eines Bauteils oder eines Berechnungsgebietes - die finiten Elemente - zugrunde gelegt werden, um das physikalische Verhalten des Bauteils abzubilden.

Die Finite-Elemente-Methode sieht vor, dass das Bauteil, das zu berechnen ist, in finite Elemente - also kleine endliche Bereiche - unterteilt wird. Dies ist die Diskretisierung.

Für jedes dieser Elemente - also jeden kleinen endlichen Bereich - werden einfach aufgebaute Ansatzfunktionen gewählt und eingesetzt, die das physikalische Verhalten angemessen abbilden. Die Elemente sind "finit", im Gegensatz zur Infinitesimalrechnung. Die Finite-Elemente-Methode erreicht eine angenäherte Lösung der Differentialgleichung, indem anstelle der Differentialquotienten die Differenzenquotienten verwendet und numerisch ausgewertet werden. Es gibt unterschiedliche Typen von Elementen, je nachdem welche Physik simuliert werden soll oder welche Gestalt für das Simulationsmodell gewählt wurde.

Durch den Zusammenhang zwischen benachbarten Elementen ergibt sich ein Gleichungssystem, das bei der Simulation zu lösen ist.

Die Verwendung von finiten Elementen (der Finite-Elemente-Methode, FEM) umfasst nach der Idealisierung

• die Diskretisierung (Vernetzung),
• die Lösung und
• die Auswertung (Ergebnisdarstellung).

Meistens wird dananch in der Bewertung auf der Grundlage der Ergebnisse eine technische Aussage getroffen.

Selbststudium

Zum Selbststudium finden Sie einige Bildfolgen:

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• Die Grundidee der FEM (Mechanik)

6 Seiten, 30..60 min
Was ist die Finite-Elemente-Methode? Für einen mechanischen Biegebalken wird die Differentialgleichung aufgestellt. Die Lösung wird

• theoretisch als geschlossene Lösung,
• mit einem numerischen Ansatz und
• mit der Finite-Elemente-Methode skizziert.

Im Vergleich erkennen Sie die wesentlichen Prinzipien und Vorteile der FEM.

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• FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Mechanik)

17 Seiten, 60..90 min
Hier wird eine FEM-Anwendung mit Zahlen im Detail verfolgt. Für ein Bauteil der Strukturmechanik wird zunächst

• eine analytische Lösung erstellt.

Dann wird die Finite-Elemente-Methode angewendet, wobei alle Arbeitsschritte

• der Idealisierung,
• der Diskretisierung,
• der Lösung,
• der Auswertung und
• der Bewertung

im Detail mit Zahlenwerten verfolgt werden. Im Vergleich mit der analytischen Lösung werden die Möglichkeiten und Grenzen der FEM erkennbar.

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• Grundsätze (statements) der Finite-Elemente-Methode

7 Seiten, 15..30 min
Aus der Theorie (siehe auch das vorher genannte einfache Beispiel) und dem Alltag der Anwendung der Finite-Elemente-Methode lassen sich die hier dargestellten Schlussfolgerungen ziehen. Mit diesen „statements" werden die wesentlichen Eigenschaften der FEM zusammengestellt. Sie sind im technischen Alltag überwiegend zutreffend und können meistens zur Planung einer Berechnung verwendet werden. Mit einigen Bemerkungen wird aber hier auch schon auf Einschränkungen hingewiesen.