FEM Handrechnung 1 14
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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A..
B..
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
D..
E..
Z..
NL..
T..
3. Anwendung der Finite-Element-Methode
3. Schritt: Lösung, Lösung des Gleichungssystems - Fortsetzung
Hier erfolgt nun die Bestimmung der unbekannten Verschiebungen mit dem Gauß'schen Algorithmus:
- die Gesamt-Steifigkeitsmatrix wird zunächst in eine Dreiecksmatrix transformiert (Vorwärtselimination) und dann
- über die Dreiecksmatrix der Unbekanntenvektor bestimmt (Rückwärtselimination).
Vorwärtselimination
Für die Vorwärtselimination wird im Gleichungssystem Teil I
die erste Zeile durch 252000 geteilt, es ergibt sich
Dann wird eine Multiplikation der ersten Zeile mit 84000 und Addition zur 2. Zeile gemacht
Eine Division der 2. Zeile durch 56000 ergibt
Mit diesem Schritt ist die Steifigkeitsmatrix in eine dreieckig besetzte Form gebracht. Diese „triangularisierte” Matrixform ist ein maßgebender Zwischenschritt auf dem Weg zur Lösung des Gleichungssystems.
Rückwärtselimination
Die 2. Zeile ergibt direkt die unbekannte Verschiebung u3 und danach rückwärts der Dreiecksform der Matrix folgend u2 zu
Das Ergebnis für Teil I ist damit der Verschiebungsvektor
Die Bestimmung der Reaktionskraft kann nun aus Teil II mit den jetzt bekannten Verschiebungen erfolgen wie hier gezeigt
Tips und Tricks
Bei der Lösung dieser Aufgabe mit einem numerischen Programm ist der Rundungsfehler zu beachten. Der Einfluss dieses Fehlers kann bei einer FEM-Lösung wie hier anhand der Zahlenwerte auf der Hauptdiagonalen der Gesamtsteifigkeitsmatrix abgeschätzt werden. Maßgebend dabei ist das Verhältnis dieser Zahlenwerte zueinander (Steifigkeitsverhältnis).
Was ist das Wesentliche hierbei?
Als erste Ergebnisse der Lösung haben wir die Verschiebungen der Knoten und die Reaktionskräfte bestimmt. Diese Größen werden auch als primäre Ergebnisse bezeichnet.
Wenn die Verschiebungen der Knoten berechnet sind, dann ist damit für jedes Element alles im "Inneren" berechenbar. Dies ist die Rückrechnung (back substitution).
