FEM Handrechnung 1 10

Aus ESOCAETWIKIPLUS

FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Mechanik)

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3. Anwendung der Finite-Element-Methode

3. Schritt: Lösung, Aufstellen des Gleichungssystems

Der 3. Schritt der Lösung wird im Alltag vom Computer ausgeführt. Hier in diesem Beispiel wird aber vorgestellt, wie die Zahlenwerte verarbeitet werden. Dabei werden einige wesentliche Begriffe hervorgehoben, die im Alltag der FEM-Anwendung nützlich sind.

Bei der Lösung geht es darum, die unbekannten Knotenverschiebungsgrößen zu bestimmen. Dafür legen wir die Minimalforderung der potentiellen Energie für die Struktur zugrunde. Das ist der übliche Ansatz in der Physik, bei dem (den Hauptsätzen der Thermodynamik entsprechend) berücksichtigt wird, dass jedes System und jeder Vorgang in der Praxis ein Energie-Minimum einnimmt. Aus dieser Minimalforderung resultiert ein algebraisches Gleichungssystem, dessen Auflösung uns die gewünschten Knotenverschiebungen liefert.

Die potentielle Energie (das Potenzial) Π setzt sich aus dem Potenzial der inneren Kräfte Π_i und dem Potenzial der äußeren Kräfte Π_a zusammen

Das Potenzial der inneren Kräfte Π_i entspricht der Summe der Potenziale der einzelnen Elemente Π_ie. Das Potenzial der äußeren Kräfte Π_a ergibt sich aus

• der Summe der Arbeiten der äußeren Kräfte Π_ak, die an den Knoten wirken (also Kräfte, die den Knoten zugeordnet sind, wie in unserem Fall die Zugkraft am rechten Ende des Stabes), und
• der äußeren Kräfte Π_ae, die auf die Elemente wirken (also Kräfte, die den Elementen zugeordnet sind, zum Beispiel Streckenlasten).

Äußere Kräfte im Elementbereich wollen wir zunächst ausschließen. Damit entfällt Π_ae.

Die Formänderungsarbeit innerhalb eines Elementes Π_ie errechnet sich aus

Bemerkung: Der Dehnungsvektor {ε} muss transponiert werden, damit das Skalarprodukt gebildet wird.

Mit

und

sowie

ergibt sich

Wir bezeichnen den Term
als Steifigkeitsmatrix eines Elements e.

Damit ergibt sich für das innere Potenzial des Elements e

Das Potenzial der äußeren Kräfte an den Knoten errechnet sich aus dem Produkt der Knotenverschiebungen mit den Knotenlasten F

Das Gesamtpotenzial Π ergibt sich damit zu

Aus der Forderung des Minimums der potenziellen Energie ergibt sich die Steifigkeitsmatrix für das gesamte System, d.h. ein Gleichungssystem, aus dem die unbekannten Verschiebungen an den Knoten bestimmt werden können

[K] ist die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur, die sich aus der Summe der Elementsteifigkeitsmatrizen [K]e zusammensetzt, {u} ist der Knotenverschiebungsvektor und {F} der Knotenkraftvektor.

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