FEM Handrechnung 1 15
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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A..
B..
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
D..
E..
Z..
NL..
T..
3. Anwendung der Finite-Element-Methode
3. Schritt: Lösung, Rückrechnung
Bei der Rückrechnung werden auf Elementebene die Verschiebungen verwendet, um daraus im Element die Dehnungen und Spannungen zu bestimmen.
Mit dem Verschiebungsvektor {u}, der die Knotenverschiebungen an den Elementendknoten beinhaltet, können nun im Element die Verschiebungen und Dehnungen bzw. Spannungen bestimmt werden.
Element 1
Der Verschiebungsvektor für die Endknoten 1 und 2 dieses Elementes sieht so aus
Es war ein linearer Verschiebungsverlauf im Element zugrunde gelegt worden. Daraus wurden die Formfunktionen {N} bestimmt. Mit diesen Formfunktionen kann nun hier der Verschiebungsverlauf beschrieben werden
Daraus ergibt sich für den Elementanfang bei x = 0
und für das Elementende bei x = 50
Der Spannungsverlauf ergibt sich daraus abgeleitet wie folgt
Dies ist ein einziger Wert für die gesamte Länge des Elementes. Dies ergibt sich aus der Annahme des konstanten Querschnitts und des linearen Verschiebungsansatzes über die Elementlänge.
Element 2
Für Element 2 ist der Verschiebungsvektor der Endknoten 2 und 3 berechnet worden zu
Damit kann der Verschiebungsverlauf im Element 2 geschrieben werden als
Für den Elementanfang (damit ist hier die Längenposition 0 im Element-Koordinatensystem gemeint. Hier hätte besser eine Koordinate wie ξ verwendet werden sollen, um dies klarer darzustellen, aber darauf ist hier verzichtet worden) ergibt sich damit
Am Elementende bei Längenposition 50 ergibt sich
Der Spannungsverlauf in diesem Element kann geschrieben werden als
Was ist das Wesentliche hierbei?
Die Ergebnisse der Rückrechnung bauen auf die Verschiebungen der Knoten, also die primären Ergebnisse auf. Daher werden sie auch als sekundäre Ergebnisse bezeichnet.
Hier liegt eine lineare FEM-Berechnung vor. Die Lösung ist mit der Rückrechnung abgeschlossen. Wenn Nichtlinearitäten vorliegen, folgt noch eine Gleichgewichtskontrolle.
