FEM Handrechnung 1 12
Aus ESOCAETWIKIPLUS
FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Mechanik)0
A..
B..
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
D..
E..
Z..
NL..
T..
3. Anwendung der Finite-Element-Methode
3. Schritt: Lösung, Aufstellen des Gleichungssystems - Fortsetzung
Nun werden die Zahlenwerte unseres Beispiels verwendet und damit die Elementsteifigkeitsmatrizen [K]e, die Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] und der Vektor {F} für unser Beispiel mit zwei Elementen aufgestellt.
Die Zahlenwerte, die für die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen in unserem Beispiel einzusetzen sind, sind
- für das Material E = 210000 N/mm2,
- für Element 1: L = 50 mm, A = 40 mm2,
- für Element 2: L = 50 mm, A = 20 mm2.
Damit ergeben sich die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrizen zu
Ke1=168000, Ke2=84000,
in Matrizenschreibweise
Man sieht, dass die Elementsteifigkeitsmatrix für ein solches Stab-Element mit zwei Knoten eine 2x2-Matrix ist. Bemerkenswert ist, dass die Zahlenwerte auf der Hauptdiagonalen positiv sind und dass die Matrix in Bezug auf die Hauptdiagonale symmetrisch ist.
Für die Bestimmung der Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] und den Vektor {F} wird nochmal das Potenzial herangezogen. Das Potenzial für unser Beispiel mit zwei Elementen und einer Kraft am rechten Knoten kann geschrieben werden als
wobei mit Πi1 das innere Potenzial vom Element 1, mit Πi2 das innere Potenzial von Element 2 und mit ΠaK das äußere Potenzial der Knotenkräfte bezeichnet ist.
Mit den einzelnen Größen der Verschiebungen u, Steifigkeiten K und Kräfte F kann dies detaillierter geschrieben werden als
Zusammengefasst kann dies geschrieben werden als
Mit Zahlenwerten sieht dies so aus
Die Minimalforderung für Π führt auf
und damit auf das Gleichungssystem
Wie man sieht, setzt sich das Gleichungssystem aus den einzelnen Elementsteifigkeitsmatrizen zusammen, wobei die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrizen bestimmte Plätze im Gleichungssystem (der Gesamt-Steifigkeitsmatrix) einnehmen. Bezeichnet man mit i die Zeile und mit j die Spalte, und ist i der linke Endknoten und j der rechte Endknoten, so wird der Koeffizient Kij der Elementsteifigkeitsmatrix an die Schnittstelle von Zeile i und Spalte j der Gesamt-Steifigkeitsmatrix eingesetzt. Z. B. ist K22 von Element 1 = 168000 und K22 von Element 2 = 84000. Beide Werte bilden den Koeffizienten an der Position 2,2 der Gesamt-Steifigkeitsmatrix.
Grafisch dargestellt ist die Elementsteifigkeitsmatrix jedes Elementes (so wie hier zusammen mit den Verschiebungen u und den Kräften F an den zugehörigen Knoten dargestellt)
im Gleichungssystem in der Gesamt-Steifigkeitsmatrix links wiederzufinden
Maßeinheiten
Was für Maßeinheiten sind für diese Zahlenwerte zutreffend? Hier sind nur Zahlenwerte genannt. Dies entspricht der Verarbeitung im Computer-Programm, bei der mit der Bit-Darstellung nur die Zahlenwerte vorhanden sind. Die Einheiten und damit die physikalische Bedeutung der Zahlen muss von uns als Anwender verwaltet und verfolgt werden. Manchmal wird dies von der Benutzer-Oberfläche des Programms übernommen, aber bei der numerischen Lösung werden die "nackten" Zahlen verarbeitet.
In dem zuletzt gezeigten Gleichungssystem sind die Zahlenwerte von {F} auf der rechten Seite direkt als Kräfte erkennbar. Sie haben im SI- oder mks-System die Einheit [N].
Die Verschiebungen {u} auf der linken Seite des Gleichungssystems haben im SI- oder mks-System die Einheit [m].
Daraus kann man ableiten, dass die Zahlenwerte der Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] im SI- oder mks-System die Einheit [N/m] haben müssen. Dies ergibt sich aus dem Elastizitätsmodul (Einheit [N/m2] oder [Pa]), der Länge ([m]) und der Querschnittsfläche ([m2]) des jeweiligen Elementes.
In diesem vorliegenden Beispiel haben wir allerdings seit Beginn der numerischen Berechnung uns entschlossen, anstelle des SI- oder mks-Systems ein anderes Einheitensystem zu verwenden. Wir haben als Einheiten
- [mm] anstelle von [m] verwendet,
- [N] beibehalten,
- [sec] beibehalten (dies ist bisher nicht maßgebend gewesen) und
- [103kg] anstelle von [kg] (dies ist bisher nicht maßgebend gewesen) verwendet.
Dieses von uns verwendete Einheitensystem ist konsistent. Es wird von uns für die Eingabe der Daten, vom Rechner bei der Lösung und von uns bei der Interpretation der Ergebnisse bei der Auswertung durchgängig verwendet.
Steifigkeitsmatrizen und Koordinatensysteme
In einem Beispiel eines Mauerwerks-Bogens wird prinzipiell gezeigt, wie die Elementsteifigkeitsmatrix mit Zahlenwerten gefüllt wird und wie diese Zahlenwerte in die Gesamtsteifigkeitsmatrix übertragen werden. Dabei sind für das FEM-Modell Koordinatensysteme wichtig bei der Festlegung der orthotropen Materialdaten und der Randbedingungen und Lasten.
Temperaturfeld
Die vergleichbare Seite des Beispiels für Temperaturfeld finden Sie hier.