FEM Handrechnung 1 11
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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A..
B..
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
D..
E..
Z..
NL..
T..
3. Anwendung der Finite-Element-Methode
3. Schritt: Lösung, Aufstellen des Gleichungssystems - Fortsetzung
Im folgenden werden die Steifigkeitsmatrizen [K]e, die Matrix [K] und der Vektor {F} für unser Beispiel mit zwei Elementen aufgestellt.
Für die Bestimmung von [K]e werden die vorher aufgestellten Zusammenhänge zwischen den Formfunktionen {N}, deren Ableitung [B] und dem Material [D] verwendet. Damit ergibt sich für die Steifigkeitsmatrix [K]e
mit dem Mittelwert der Querschnitte als 
Hier in unserem Beispiel ist die Werkstoffmatrix [D] eine skalare Größe (Elastizitätsmodul E). Daher wird jetzt anstelle von [D] der Elastizitätsmodul E eingesetzt.
Dieser Schritt der Integration hat dazu geführt, dass für die Referenzpositionen der Begriff Gausspunkt oder Integrationspunkt verwendet wird. Hier in diesem vorliegenden Beispiel, bei dem ein Linien-förmiges Stab-Element verwendet wird, gibt es einen Integrationspunkt, der in der Mitte des Elementes liegt.
Mit den vorher schon dargestellten Inhalten von [B] für den Stab ergibt sich weiter für die Elementsteifigkeitsmatrix [K]e
Diese Beziehung gilt allgemein für jedes Element eines Stabes, der seine Achse entlang der x-Achse hat. Einzusetzen sind die Werte für das Material E, die Querschnittsfläche Am und die Länge L des jeweiligen Elements. Das sind Werte, die bekannt sind und mit Zahlen gefüllt werden können. Dies geschieht für unser Beispiel auf der nächsten Seite.
Anmerkung für den Praktiker
In der FEM-Software, die im Simulations-Alltag eingesetzt wird, sind die Formeln und Regeln, die hier auf den Seiten C3 bis hier (C6) vorgestellt wurden, einprogrammiert. Oder besser gesagt: sie bilden die Grundlage für die Programmschritte, die ausgeführt werden.
So wie diese FEM-Software arbeiten würde, werden jetzt die Zahlenwerte unseres Beispiels verwendet und damit die Elementsteifigkeitsmatrizen [K]e, die Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] und der Vektor {F} für unser Beispiel mit zwei Elementen aufgestellt.
Warum gibt es die Elementsteifigkeitsmatrix in der Finite-Elemente-Methode?
Hier in dem einfachen Fall für das Stab-Element steht in der Elementsteifigkeitsmatrix das, was als Mechanik-Grundlagenwissen für eine Feder gelehrt wird:
F = c x
oder in Worten etwa "Kraft" gleich "Steifigkeit" mal "Verschiebung" (bzw. "Längenänderung"). Dieser Zusammenhang wird schon lange verwendet. Warum muss die Finite-Elemente-Methode hierzu die Bezeichnung Elementsteifigkeitsmatrix einführen?
Dies liegt
- an der Erweiterung vom einfachsten Fall des Stab-Elementes hin zu Volumen-Elementen und
- an der Anwendung auf große Modelle mit vielen Elementen.
Die Erweiterung vom einfachsten Fall des Stab-Elementes hin zu Volumen-Elementen bedeutet die Erweiterung von 1 Dimension zu 2 und 3 Dimensionen. Das Stab-Element ist 1-dimensional. Nur die Länge des Elementes bzw. der Feder und die Änderung dieser Länge durch eine Kraft wird betrachtet. In der Zeit um 1960 herum wurde von Ray Clough für ein flächiges Gebiet mit 3 Eck-Knoten und konstanter Dehnung eine entsprechende Beziehung entwickelt, die nun 2-dimensional war und die Quer-Kopplung der beiden Richtungen in der Ebene berücksichtigte. Dies ergibt eine Gruppe von mehreren Gleichungen, die miteinander verknüpft sind. Wenn man diese Gleichungen im Detail aufschreibt, ist eine Analogie zwischen der Kombination von Elastizitätsmodul und Querschnittsabmessungen des flächigen Gebietes einerseits und der Steifigkeit c des Stabes andrerseits erkennbar. Clough hat für das flächige Gebiet mit den Eck-Knoten den Namen "finites Element" geprägt. Bald danach wurden auch 3-dimensionale Volumen-Elemente formuliert.
Für die Anwendung auf große Modelle mit vielen Elementen ist die Hardware der numerischen Computer und deren Programmierung wesentlich. Dadurch kommt der Begriff der Matrix hinzu. In der Mathematik kann damit für Gleichungssysteme die Schreibweise und die Arithmetik erleichtert werden. Diese Systematik kann gut in die Programmerung übertragen werden.
Daraus ergibt sich, dass die Elementsteifigkeitsmatrix
- die Steifigkeit (eines Elementes, also) eines Gebietes zwischen mehreren Eck-Knoten beschreibt und
- eine Schreibweise (als Matrix) verwendet wird, die für eine Gruppe von zusammenhängenden Gleichungen und insbesondere für die Programmierung geeignet ist.
