FEM Handrechnung 1 9
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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A..
B..
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
D..
E..
Z..
NL..
T..
3. Anwendung der Finite-Element-Methode
2. Schritt: Diskretisierung - Fortsetzung
Dehnungen
Neben den Verschiebungen benötigen wir noch die Dehnungen und die Spannungen, jeweils ausgedrückt in den Knotenverschiebungsgrößen. Die Dehnungen können unter Verwendung der Formfunktionen geschrieben werden als
Wenn wir die Ableitung der Formfunktion N mit B bezeichnen und sie schreiben als
dann ergibt sich für die Dehnungen
In unserem Beispiel des einfachen Stabelementes ist
Im allgemeinen Fall sind Dehnungskomponenten in verschiedenen Koordinatenrichtungen zu berücksichtigen. Wir betrachten hier nur den Sonderfall, dass nur eine Dehnung in x-Richtung auftritt.
Spannungen
Die Spannung ist mit der Dehnung über den Elastizitätsmodul E (allgemein die Werkstoffmatrix) verknüpft
Im allgemeinen Falle ist der Skalarwert E eine Matrix [D]. Es treten dann nicht nur ein Spannungswert, sondern Spannungskomponenten auf, die in einem Spannungsvektor zusammengefasst werden.
Mit der Beziehung zwischen Dehnungen und Verschiebungen ergibt sich:
Damit sind der Verschiebungsverlauf innerhalb des Elementes und die daraus abgeleiteten Größen wie die Dehnungen {ε} und die Spannungen {σ} bis auf die unbekannten Knotenverschiebungsgrößen {u} festgelegt.
Was ist das Wesentliche hierbei?
Aus der Diskretisierung (also der Aufteilung in die Elemente) ergibt sich der hier gezeigte Zusammenhang. Damit ist, wenn später bei der Lösung die Verschiebungen der Knoten berechnet sind, für jedes Element alles im "Inneren" berechenbar. Das ist dann die Rückrechnung (back substitution).
