FEM Handrechnung 1 13

Aus ESOCAETWIKIPLUS

FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Mechanik)

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3. Anwendung der Finite-Element-Methode

3. Schritt: Lösung, Lösung des Gleichungssystems

In dem Gleichungssystem

sind zusammen mit der Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] die unbekannten Verschiebungen (im Knotenverschiebungsvektor {u}) und der unbekannte Knotenkraftvektor {F} enthalten. Das sieht in der schematischen Übersicht so aus wie hier gezeigt

Nun werden noch die Randbedingungen berücksichtigt. Dazu gehört die Festhaltung am Knoten 1, also die Bedingung, dass u₁=0 betragen muss. Damit stellt sich das Schema nun so dar

Außerdem wird die Kraft am freien Ende F₃, wie in der Aufgabenstellung vorgegeben, festgelegt. Und am Knoten 2 wird keine Kraft vorgegeben, damit ist also auch F₂=0 bekannt. Die unbekannte Reaktionskraft am Knoten 1 bleibt hier im Schema erkennbar

Für die Lösung wird nun dieses Gleichungssystem so umgeformt, dass die unbekannten Verschiebungen allein auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen.

In der Matrizen-Schreibweise für das Gleichungssystem gilt folgende Umwandlungs-Regel

Diese Vorgehensweise entspricht bei einer skalaren Gleichung

Die Lösung des Gleichungssystemes wird jedoch in FE-Programmen nicht über die inverse Matrix [K]^-1 vorgenommen, sondern über numerisch günstige Lösungsalgorithmen.

Hier in diesem Handrechnungs-Beispiel wird das Eliminationsverfahren nach Gauß angewendet.

Für unser Beispiel lautet das Gleichungssystem mit den hier zutreffenden Zahlenwerten

Dieses Gleichungssystem ist so zunächst nicht mit einem schematisierten Verfahren lösbar. Deshalb wird das Gleichungssystem aufgespalten

• in einen Teil II, der die Randbedingungen enthält (hier bei uns die Festlegung, dass u₁ = 0),
• und einen Teil I, der die unbekannten Verschiebungen (u₂ und u₃, ohne Lagerverschiebungen) enthält.

Diese Aufspaltung führt zu

Teil I eignet sich für programmierte Algorithmen. Ist Teil I gelöst, so können mit den berechneten Verschiebungen die Lagerkräfte aus Teil II bestimmt werden.

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