Gausspunkt

Aus ESOCAETWIKIPLUS

engl: Gauss point, integration point          Kategorie: Level 2 Theorie

Allgemeine Informationen wie bei wikipedia:Gauß-Quadratur betreffen nicht direkt den Bereich der CAE-Simulationen.

Simulation

Die Gausspunkte oder Integrationspunkte sind diejenigen Positionen im finiten Element, an denen diejenigen Ergebnisgrößen, die im Element durch Integration bestimmt werden, gültig sind.

Bei der Vorbereitung der FEM-Lösung im Element werden Ansatzfunktionen verwendet, um die Steifigkeitsmatrix des Elementes zu berechnen. Diese Ansatzfunktionen hängen mit den Gauss- oder Integrationspunkten zusammen.

In der Abbildung links ist ein Bauteil der Strukturmechanik gezeigt, das in der Selbststudium-Bildfolge studiert werden kann. Hier sind als Ergebnis einer ebenen Modellierung (2-dimensional) die Spannungen an den Gausspunkten, in der Elementmitte und an den Elementeckknoten eingetragen.

Die Lösung der FEM-Aufgabe liefert die Werte der Freiheitsgrade als primäres Ergebnis. Damit können im Element weitere Ergebniswerte abgeleitet werden. Oft ist hierfür eine Integration über dem Element-Bereich notwendig. Dafür werden die Ansatzfunktionen zugrundegelegt. Die Integration ergibt eine Näherung für den Verlauf des Ergebniswertes im Bereich dieses Elementes. Das Ergebnis der Integration ist genau genommen an den Gauss- oder Integrationspunkten zutreffend.

Wenn in der praktischen Anwendung die Ergebnisse der FEM-Berechnung dargestellt werden, wird vom Programm das Ergebnis an den Gausspunkten auf den gesamten Bereich des Elementes interpoliert bzw. auf die Ecken extrapoliert und diese angenäherte Verteilung auf dem Bildschirm als Ergebnis präsentiert. Bei Nichtlinearitäten ist eine solche Interpolation allerdings theoretisch nicht zutreffend, daher wird in solchen Fällen meistens das Ergebnis an den Gausspunkten direkt auf die Ecken kopiert.

Die Elemente haben im allgemeinen so viele Gausspunkte wie Knoten.

Hier wird prinzipiell für Elemente mit einfachen Ansatzfunktionen (lineare Elemente) die Verteilung der Gausspunkte gezeigt. Bei linienförmigen Elementen (Linie in der Ebene oder im Raum, Stab, Balken-Elemente) mit 2 Knoten liegt der Gausspunkt in der Mitte.

Bei flächenförmigen Elementen (Rechteck in der Ebene, ebenes Solid-Element),

bei räumlichen Elementen (Hexaeder, Tetraeder im Raum, Volumen-Element) und

bei flächenförmigen Elementen (Rechteck), die eine dünnwandige Struktur im Raum repräsentieren (Schalen-Elemente) liegen die Gausspunkte etwa 25% der Distanz von den Ecken zur Elementmitte einwärts.

Selbststudium

In dem Beispiel "FEM Handrechnung" mit linienförmigen Elementen wird die Integration bei der Herleitung der Element-Steifigkeitsmatrix im Detail vorgestellt.

Sonstige Begriffe

In der Praxis der FEM-Anwendung wird auch von Integrationspunkten gesprochen, wenn ein Ansatz für eine besondere Querschnittsform getroffen wird. Diese Querschnitts-Integrationspunkte werden bei der Berechnung der Element-Steifigkeitsmatrix und nach der Lösung bei der Bestimmung der Ergebnisverteilung im Element-Querschnitt verwendet.