Gleichgewichtsiteration
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: equilibrium iteration Kategorie: 
Level 2 Theorie
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Iteration
Der Begriff "iterative Lösung" kann verwirren:
Diese Seite hier betrifft die schrittweise Lösung einer Simulation mit einer Nichtlinearität durch Gleichgewichtsiterationen). (Diese Seite betrifft NICHT die iterative Lösung eines Gleichungssystems (die mathematisch-numerische Aufgabenstellung)).
Inhaltsverzeichnis |
Simulation
Eine Gleichgewichtsiteration ist ein Lösungsschritt einer FEM-Berechnung mit impliziter Lösung und Nichtlinearität.
Eine Gleichgewichtsiteration stellt eine Lösung des Gesamt-Gleichungssystems dar, bei der anschließend eine Gleichgewichts-Kontrolle durchgeführt wird. Dabei werden mit den berechneten Ergebnissen die inneren Kraftgrößen (Kräfte, Momente, Wärmeströme,..) in den Elementen berechnet und an allen Knoten des Modells die Summe gebildet. Dabei werden die aufgebrachten äußeren Lasten einbezogen. Wenn diese Summation insgesamt an allen Knoten nur noch einen geringfügigen Restwert (Residuum) ergibt, ist die Lösung für diesen Lastzustand konvergiert.
Der Grenzwert für den Restwert (Residuum) der Gleichgewichts-Kontrolle wird Konvergenzkriterium genannt.
Meistens wird das Newton-Raphson-Verfahren verwendet, um mit einer Folge von Iterationen die Nichtlinearitäten zu berücksichtigen. Das Ziel dieser Folge ist es, alle nichtlinearen Bedingungen zu erfüllen und bei der Gleichgewichts-Kontrolle nur noch einen geringfügigen Restwert (Residuum) zu erhalten.
Gleichgewichtsiteration mal ganz anschaulich
Für eine Simulation der Strukturmechanik wird diese Gleichgewichtskontrolle nochmal ganz anschaulich erläutert. Die Abbildung rechts zeigt den Ablauf für ein Modell, das Plastizität und Kontakt enthält. Diese beiden Effekte sind nichtlineare Effekte. Bei Plastizität sind die Spannungen (und damit die Kräfte im Element) abhängig von den Dehnungen (und damit von den Verschiebungen {u}). Bei Kontakt sind die Kräfte, die übertragen werden, direkt abhängig von den Verschiebungen {u} (bei Berührung werden Kräfte übertragen, beim Öffnen nicht mehr). Im oberen Block der Abbildung sind diese Effekte skizziert.
Für diese Effekte muss bei der Vorbereitung des Modells eine Annahme für die Verschiebungen {u} (die ja zunächst unbekannt sind) getroffen werden. Mit diesen Annahmen wird das Modell erstellt, diskretisiert, die Gesamtsteifigkeitsmatrix {K} und das Gleichungssystem [K(u)].{u}={F} erstellt. In diesem Modell sind die nichtlinearen Eigenschaften nur für einen bestimmten, hier vorher angenommenen Wert der Verschiebung zutreffend enthalten. Dieses Gleichungssystem ist in dem mittleren Block dargestellt.
Durch die Lösung erhalten wir aus dem Gleichungssystem die Verschiebungen {u} (unterer Block der Abbildung rechts). Dies sind die Verschiebungen aufgrund der mechanischen Eigenschaften des gesamten Modells einschließlich derjenigen Teile, die Eigenschaften haben, die von eben diesen Verschiebungen abhängen (siehe die Annahmen vorher).
Bevor wir diese berechneten Verschiebungen als "richtig" akzeptieren können, müssen wir sie mit den Annahmen vergleichen, die am Anfang getroffen wurden. Weichen sie von den angenommenen Werten ab? Wenn nein, sind wir zufrieden. Wenn ja, dann fragt sich, wie viel die Abweichung ausmacht. Dazu werden also die gerade berechneten Verschiebungen bei den nichtlinearen Effekten (Plastizität und Kontakt) eingesetzt. Es wird verglichen, wie groß die Abweichung ist. Es wird darauf geachtet, dass sowohl einzelne Stellen des Modells als auch die Summe aller Abweichungen für das gesamte Modell wichtig sein können.
Wenn die Abweichung zu groß ist, wird eine neue Gleichgewichtsiteration begonnen. Sie wird mit revidierten Annahmen für die Verschiebungen durchgeführt. Mit diesen revidierten Annahmen wird das neue Modell erstellt und der Ablauf wird wiederholt.
Konvergenz bei der iterativen Lösung der Simulation von Nichtlinearitäten
In der Abbildung rechts ist der typische Verlauf einer Folge von Gleichgewichtsiterationen bei Verwendung des Newton-Raphson-Verfahrens skizziert. Im Verlauf der roten Funktion ist das Residuum {R} jeder Gleichgewichtsiteration markiert. Wenn dieses Residuum kleiner als das Konvergenzkriterium ist, ist Konvergenz dieser Iterationsfolge erreicht.
Beispiel
Eine typische Liste der Meldungen eines FEM-Programms bei einer Folge von Gleichgewichtsiterationen sieht so aus:
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 1.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.2358E+13 CRITERION= 500.0
EQUIL ITER 1 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.3200
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 2.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.5881E+12 CRITERION= 500.0
EQUIL ITER 2 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.2103
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 3.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.8842E+11 CRITERION= 500.0
EQUIL ITER 3 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.1947E-01
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 4.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.2801E+10 CRITERION= 500.0
EQUIL ITER 4 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.6038E-03
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 5.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.4322E+08 CRITERION= 500.0
EQUIL ITER 5 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.5298E-05
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 6.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 4076. CRITERION= 500.0
EQUIL ITER 6 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= 0.5757E-09
Time= 55.296 Load Step= 10 Substep= 1 Equilibrium Iteration= 7.
FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.1213E-01 CRITERION= 500.0 <<< CONVERGED
>>> SOLUTION CONVERGED AFTER EQUILIBRIUM ITERATION 6
*** LOAD STEP 10 SUBSTEP 1 COMPLETED. CUM ITER = 49
Dies ist eine Simulation der Strukturmechanik mit Plastizität. Der simulierte Prozess ist zeitabhängig, die Berechnung betrifft aktuell den Schritt (Load Step) 10 der Simulation zur Zeit (Time) 55.296. Nach der Gleichgewichtsiteration (Equilibrium Iteration) 1 wird eine Gleichgewichtskontrolle durchgeführt und das Ergebnis der Kraftgröße 0.2358E+13 mit dem aktuellen Kriterium 500. verglichen. Daraus folgt, dass eine weitere Gleichgewichtsiteration erforderlich ist. Es wird also Gleichgewichtsiteration (Equilibrium Iteration) 2 mit verbesserten Annahmen gestartet.
Diese Folge der Gleichgewichtsiterationen wird fortgesetzt. Die Gleichgewichtskontrolle liefert zunehmend bessere (also geringere) Werte. Bei Gleichgewichtsiteration 6 wird das Kriterium erfüllt und Konvergenz festgestellt. Die damit berechnete Lösung ist verwendbar für den Prozess bei Zeit 55.296, die Plastizität ist berücksichtigt. Mit diesem Ergebnis kann nun die Auswertung und Bewertung durchgeführt werden.
Selbststudium
Zum Selbststudium ist für ein einfaches Beispiel der Strukturmechanik mit 2 Elementen auch als eine Variante die Vorgabe einer Materialnichtlinearität betrachtet. Bei der Lösung wird eine Folge von Gleichgewichtsiterationen bis zur Konvergenz dargestellt.
