Volumen-Element
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: solid element Kategorie:
Level 2 Theorie
Ein Volumen-Element ist ein 3-dimensionaler Element-Typ der Finite-Elemente-Methode. Typische Formen von Volumen-Elementen sind Hexaeder, Tetraeder, Pyramiden, Keil-Formen (wedges).
Mit einem Volumen-Element wird das 3-dimensionale Bauteil-Verhalten sehr realitätsnah abgebildet. (Im Gegensatz dazu werden mit anderen Element-Typen wie Schalen-Elemente, Balken-Elemente, SolidShell-Elemente, ebene Elemente, Stab-Elemente bestimmte Annahmen zugrunde gelegt.)
Inhaltsverzeichnis |
Grundlagen
Die wesentlichen Eigenschaften des Elementtyps sind
- Geometrie: 3-dimensional, geeignet für allgemeine, unregelmäßige Bauteile
- Typische Anwendung: Bauteile mit vergleichbar großen Abmessungen in allen drei Richtungen.
Strukturmechanik
Bei Anwendungen der Strukturmechanik haben Volumen-Elemente folgende Eigenschaften:
- 3 Freiheitsgrade an den Knoten: 3 Translationen ux, uy, uz
- trilineare Ansatzfunktionen für Verschiebungen in drei Richtungen
- Die Matrix [D] der Materialdaten ergibt sich mit E = Elastizitätsmodul, ν = Querkontraktionszahl zu
- Mindesteingabe für [D] bzw. [K]:
- Elastizitätsmodul E
- Beanspruchung: Normalspannungen und Schubspannungen in allen 3 Raumrichtungen (ebenso Dehnungen in allen 3 Raumrichtungen
Temperaturfeld
Die wesentlichen Eigenschaften des Elementtyps sind
- 1 Freiheitsgrade an jedem Knoten: Temperatur temp
- Wärmeleitung (Konduktion) in allen 3 Raumrichtungen in allen 3 Raumrichtungen
- trilineare Ansatzfunktionen für die Temperatur in drei Richtungen
- Die Matrix [D] der Materialdaten erfordert als Mindesteingabe die
- Wärmeleitfähigkeit λ
Simulation
Elementsteifigkeitsmatrix
Für ein Volumen-Element werden alle Abmessungen des Elementes aus der Position der Eck-Knoten berechnet. Damit sind alle geometrischen Daten vorhanden. Mit den Materialdaten wird daraus die Elementsteifigkeitsmatrix im Element-Koordinatensystem xE,yE,zE berechnet.
Die Elementsteifigkeitsmatrix für ein Volumen-Element der Strukturmechanik mit 8 Knoten (mit jeweils den 3 Freiheitsgraden ux,uy,uz) enthält 24 x 24 Zahlenwerte. In der Skizze rechts ist eine solche Matrix prinzipiell mit der Zuordnung zu den Freiheitsgraden der Knoten uxI,uyI,...,uzP dargestellt.
Diese Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix werden bei der Vorbereitung der Lösung innerhalb des Elementes in das globale Koordinatensystem transformiert und in die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Gesamt-Gleichungssystems eingefügt.
Modellierung
Für allgemeine 3-dimensionale Bauteile sind Volumen-Elemente zu verwenden. Damit kann die Geometrie direkt so, wie sie in den heute üblichen 3-d-CAD-Programmen erstellt wird, übernommen und in Elemente diskretisiert (aufgeteilt) werden.
Die Ergebnisse dieser Elemente sind am besten, wenn die Längen der Elementkanten etwa gleich sind. Dies bedeutet, dass für dünnwandige Bauteile oder dünne und schlanke Strukturen entweder sehr viele Elemente mit einer feinen Aufteilung des Netzes in Kauf genommen werden müssen oder die Ergebnisgenauigkeit eingeschränkt ist. Aus der Erfahrung sind Kantenlängenverhältnisse von 1:10 durchaus üblich und im Ingenieuralltag als akzeptabel zu bezeichnen. Bei weiter davon abweichenden Verhältnissen sollte genauer durchdacht werden, ob die Lasten und die Ergebnisse (Verschiebungen oder Spannungen oder Auflagerreaktionen) und insbesondere deren Gradienten dadurch beeinträchtigt werden. Hierzu können auch Variantenuntersuchungen dienen.
Lasten
Ein Volumen-Element kann unter anderem mit
- Lasten an den Oberflächen (Druck in der Strukturmechanik oder Konvektion, Wärmestromdichten, Wärmestrahlung beim Temperaturfeld) und
- Lasten im Volumen (Eigengewicht in der Strukturmechanik oder Wärmequellterme beim Temperaturfeld)
beaufschlagt werden.
In der Skizze rechts ist der Lastvektor dargestellt, der aus den Lasten auf das Element gebildet wird. Für ein Volumen-Element der Strukturmechanik mit 8 Knoten enthält er 24 Zahlenwerte.
Diese Lasten werden bei der Vorbereitung der Lösung innerhalb des Elementes auf die Knoten umgerechnet. Anschließend werden sie in das globale Koordinatensystem transformiert und (wie die Elementsteifigkeitsmatrix in die Gesamtsteifigkeitsmatrix) in den Lastvektor des Gesamt-Gleichungssystems eingefügt.
Lösung
Der numerische Aufwand für Volumen-Elemente bei der Lösung ist relativ hoch (im Vergleich zu anderen Element-Typen).
Ergebnisgrößen
Die Ansatzfunktionen des Volumen-Elementes beschreiben den Verlauf der mechanischen Freiheitsgrade in allen 3 Raumrichtungen. Die Auswertung von Dehnungen und Spannungen bei Volumen-Elementen erfolgt im allgemeinen in Bezug auf die globalen Koordinatenrichtungen.
Beispiel
An einem Beispiel der Strukturmechanik wird hier gezeigt, welche Zahlenwerte in der Elementsteifigkeitsmatrix des Volumen-Elementes berechnet werden. Das Bauteil ist hier in der Abbildung rechts dargestellt. Es ist ein Quader mit den Abmessungen 50 x 20 x 1 mm. Als Materialdaten verwenden wir einen Elastizitätsmodul von 210000 MPa und eine Querkontraktion von 0.3. Dieses Modell entspricht in dem Beispiel der FEM-Handrechnung dem Element 2.
Hier wird das Bauteil mit einem Volumen-Element mit einem FEM-Programm (ANSYS® Mechanical) simuliert. Als Element-Typ des Volumen-Elementes der Strukturmechanik wird "SOLID185" verwendet. Eine Skizze des Modells ist hier in der Abbildung rechts gezeigt. Die Dateneingabe für ANSYS® Mechanical 17.0 finden Sie hier.
Hier für diese Anwendung wurde veranlasst, dass die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix ausgegeben werden. Die Meldung des Programms ergibt
Selbststudium
Zum Selbststudium ist hier in einer Bildfolge am Beispiel eines Deckenträgers beispielhaft die Verwendung von Volumen-, Schalen- und Balken-Elementen im Vergleich gezeigt. Die Vorgehensweise und die Ergebnisse der Strukturmechanik werden vorgestellt und diskutiert.
Die Verwendung von verschiedenen Koordinatensystemen bei der Erstellung der Elementsteifigkeitsmatrix und der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschreibt eine Folge "Steifigkeitsmatrizen und Koordinatensysteme" an einem Beispiel.
Sonstige Begriffe
Sonstige Elementtypen sind Schalen-Elemente, Balken-Elemente, SolidShell-Elemente, ebene Elemente, Stab-Elemente.
In einem FEM-Modell können durchaus unterschiedliche Elementtypen gemeinsam verwendet werden. In solchen Fällen ist aber auf die angemessene Bindung der Freiheitsgrade zu achten.
