Bindung von Freiheitsgraden
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: constraint of degrees of freedom Kategorie: 
Level 2 Theorie
Der Begriff der "Bindung von Freiheitsgraden" ist nicht eindeutig festgelegt. Daher wird hier auf mehrere Zusammenhänge hingewiesen.
Allgemein bedeutet "constraint" eine Festlegung für eine Verschiebung (Lagerung) oder auch generell für einen Freiheitsgrad.
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Grundlagen
Die Freiheitsgrade einer Simulation haben gerade für die Finite-Elemente-Methode (FEM) eine zentrale Bedeutung. Sie stellen die primären Unbekannten der Aufgabenstellung und der Lösung dar.
Durch die Festlegung der Lagerungen nimmt der Anwender auf einige Freiheitsgrade der Simulation.
Oftmals wird vom Anwender als Lagerung für einen Freiheitsgrad ein Zahlenwert vorgegeben. Das ergibt z.B. für ein Temperaturfeld eine festgelegte Temperatur. Oftmals wird vom Anwender diese Lagerung für einen Freiheitsgrad mit dem Zahlenwert Null vorgegeben. Das entspricht z.B. in der Strukturmechanik einer Festhaltung. In beiden Fällen wird in der Gesamt-Steifigkeitsmatrix bei der Lösung eine Zeile/Spalte obsolet und entfernt. Eine solche Festlegung eines Freiheitsgrades wird manchmal "Bindung" oder "constraint" genannt. Es sollte jedoch dabei von einer "Festhaltung" oder "Festlegung" gesprochen werden.
Bindungsgleichung
Eine Festlegung für Freiheitsgrade kann auch dadurch erfolgen, dass Verknüpfungsbedingungen vorgegeben werden. Damit werden Freiheitsgrade untereinander angebunden, hierbei sollte von "Bindung" gesprochen werden. Solche Bindungsgleichungen (constraint equation) werden neben den Matrizen (Steifigkeitsmatrix,..) verwaltet. Jede Gleichung führt dazu, dass eine Unbekannte (DOF) des Gesamt-Gleichungssystems weniger zu berechnen ist.
Eine einfachste Bindungsgleichung kann zum Beispiel angeben, dass die Temperatur hier (Knoten xxx des FEM-Modells) gleich der Temperatur dort (Knoten yyy des FEM-Modells) sein soll. Diese Verknüpfung
TEMP(xxx) = TEMP(yyy)
reduziert die Anzahl der unbekannten Freiheitsgrad, indem ein Freiheitsgrad abhängig (slave) von einem anderen Freiheitsgrad ist. Auch in diesem Fall wird in der Gesamt-Steifigkeitsmatrix bei der Lösung eine Zeile/Spalte obsolet und entfernt. Typische Anwendungsfälle für solche Verbindungen (Kopplung) von Freiheitsgraden sind
- Erhaltung der Symmetrie von Teilmodellen,
- Darstellen von Bolzen-, Scharnier- und Kardangelenken sowie
- Linearführungen.
Eine Bindungsgleichung (constraint equation) kann auch einen arithmetischen Zusammenhang zwischen Freiheitsgraden aufstellen. Zum Beispiel ergibt die Beziehung
ROTZ(xx) = 1.23 * ( UY(yy) - UY(zz) )
dass die ROTZ-Verdrehung des Knotens xx aus der Differenz der UY-Verschiebung des Knotens yy und der UY-Verschiebung des Knotens zz berechnet werden soll. Auch diese Gleichung stellt eine Verknüpfung dar, die einen Freiheitsgrad eliminiert. Mit solchen Bindungsgleichungen können Bereiche mit unterschiedlichen Element-Eigenschaften oder Netzmustern zusammengefügt werden. Alternativ sollten aber auch Kontakte in Betracht gezogen werden.
Beispiele
Verbindung von Volumen- und Schalen-Modell
In der Abbildung rechts ist eine Anwendung der Bindung von Freiheitsgraden dargestellt. Es ist ein Block, an dem ein dünnes Blech befestigt ist. Für die FEM-Simulation der Strukturmechanik wurde der Block mit Volumen-Elementen vernetzt, das dünne Blech mit Schalen-Elementen. Die Freiheitsgrade der Knoten der Volumen-Elemente sind die Verschiebungen im Raum ux,uy,uz. Die Freiheitsgrade der Knoten der Schalen-Elemente sind die Verschiebungen ux,uy,uz und die Verdrehungen φx,φy,φz im Raum. Für die steife Verbindung der Schale an dem Block muss die Verdrehung des Schalenrandes der "Schrägstellung" der angrenzenden Blockseite entsprechen. Diese "Schrägstellung" der Blockseite ist nicht direkt durch einen Freiheitsgrad gegeben, sondern nur aus den Unterschieden der Verschiebungen der Blockseite ableitbar. Daher wird eine Bindung der Freiheitsgrade wie im Absatz vorher erstellt: die Verdrehung eines Randknotens der Schale soll gleich der Differenz der Querverschiebung der zwei nächstliegenden Knoten der Blockseite sein.
Im rechten Teilbild ist die Verformung unter Eigengewicht (überhöht) dargestellt. Die steife Verbindung zwischen der Schale und dem Block ist an diesem Verformungsbild erkennbar.
Erdwärmesonde
Ein Beispiel für die Anwendung einer Bindung von Freiheitsgraden finden Sie bei Erdwärmesonde.
