Ebenes Element
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: plane element Kategorie: 
Level 2 Theorie
Ein ebenes Element ist ein Element-Typ der Finite-Elemente-Methode. Ein ebenes Element wird auch (im allgemeinen) als 2-dimensionales Kontinuums-Element bezeichnet. Es repräsentiert massives Material.
Einem ebenen Element liegen bestimmte Annahmen zugrunde. (Im Vergleich dazu wird mit einem Volumen-Element das 3-dimensionale Bauteil-Verhalten sehr realitätsnah abgebildet.) In der dritten Raumrichtung wird eine pauschale Annahme bei der Idealisierung getroffen, so dass das Simulations-Modell nur den 2-dimensionalen Querschnitt abbilden muss.
Inhaltsverzeichnis |
Grundlagen
Ebene Elemente repräsentieren Bauteile, die in der driten Raumrichtung gleichbleibende Eigenschaften (Querschnitt, Lasten) haben.
Die wesentlichen Eigenschaften des Elementtyps sind
- Geometrie: 2-dimensional (das Verhalten in der dritten Dimension wird numerisch im Elementansatz berücksichtigt), geeignet für Bauteile, deren Form und Belastung nicht von der z-Richtung abhängt (alle Schnitte an verschiedenen z-Positionen zeigen den gleichen Querschnitt und die gleiche Lastverteilung)
- bilineare Ansatzfunktionen für Verschiebungen in der Element-Ebene
Strukturmechanik
Die Freiheitsgrade der Knoten von ebenen Elementen der Strukturmechanik umfassen die in der Element-Ebene möglichen Verschiebungen.
Die wesentlichen Eigenschaften des Elementtyps sind
- 2 Freiheitsgrade an den Knoten: 2 Translationen ux, uy
- Die Matrix [D] der Materialdaten ergibt sich mit E = Elastizitätsmodul, ν = Querkontraktionszahl zu
- Mindesteingabe für [D] bzw. [K]:
- Elastizitätsmodul E
- Querkontraktionszahl ν
- Typische Anwendung: Strukturen, für die ein in z-Richtung ebener Dehnungszustand (&epsilonz = 0) angenommen werden darf und die nur in der x-y-Ebene belastet werden, wobei die Beanspruchung in z-Richtung konstant verläuft.
Die wesentlichen Eigenschaften von ebenen Elementen mit "ebenem Spannungszustand" sind
- Beanspruchung: Normalspannungen und Schubspannung in der Element-Ebene sowie Normaldehnung in z-Richtung (Spannungen nur in der Element-Ebene)
- Typische Anwendung: Strukturen, für die ein in z-Richtung ebener Spannungszustand (σz = 0) angenommen werden kann (sehr flache Bauteile).
Ein ebenes Element der Strukturmechanik mit der Einstellung "Ebener Dehnungszustand" ist für ein langes Bauteil geeignet, bei dem sich über die Länge die Form des Querschnitts nicht ändert und das sich in der Richtung dieser Länge nicht ausdehnen oder verschieben kann. Dazu können wir uns als Beispiel einen sehr langen, in z-Richtung sich erstreckenden Damm unter Wasserdruck vorstellen. Jeder Schnitt quer zu diesem Damm bleibt unverändert an dieser Längs-(z-) Position, unabhängig davon, ob der Wasserdruck hoch oder gering ist. In dieser Längs-(z-) Richtung können also keine Dehnungen auftreten. Diese Bedingung ergibt Zwängungen und damit Spannungen in der Längs-(z-) Richtung. Es ist also grundsätzlich bei einem ebenen Dehnungszustand ein 3-dimensionaler Spannungszustand gegeben.
Die wesentlichen Eigenschaften von ebenen Elementen mit "ebenem Dehnungszustand" sind
- Beanspruchung: Normalspannungen und Schubspannung in der Element-Ebene sowie Normalspannung in z-Richtung (Dehnungen nur in der Element-Ebene)
- Typische Anwendung: Strukturen, für die ein in z-Richtung ebener Dehnungszustand (&epsilonz = 0) angenommen werden kann (sehr lange bzw. unendlich lange Bauteile).
Die Eigenschaften dieses Elementtyps sind weitgehend vergleichbar zu dem Element des ebenen Spannungszustandes, denn es ist lediglich eine Modifikation der [D]-Matrix notwendig.
Temperaturfeld
Die wesentlichen Eigenschaften von ebenen Elementen beim Temperaturfeld sind
- 1 Freiheitsgrade an den Knoten: Temperatur temp
- bilineare Ansatzfunktionen für Verschiebungen in der Element-Ebene
- Die Matrix [D] der Materialdaten erfordert als Mindesteingabe die Wärmeleitfähigkeit λ
- Typische Anwendung: Strukturen, bei denen in z-Richtung keine Wärmeströme auftreten
Axisymmetrie bzw. Rotationssymmetrie
Ein ebenes Element mit der Einstellung "Axisymmetrie" ist für ein kreisförmiges Bauteil sowohl für Anwendungen der Strukturmechanik als auch für Temperaturfelder geeignet. Die Eigenschaften dieses Elementtyps sind weitgehend vergleichbar zu dem Element des ebenen Spannungszustandes oder des ebenen Dehnungszustandes, denn es ist lediglich eine Modifikation der [K]-Matrix notwendig. In die Zahlenwerte geht dann die radiale Position des Elementes bzw. seiner Knoten ein. Daher ist es notwendig, dass das FEM-Programm eindeutig mitgeteilt bekommt, welche der beiden Koordinaten die radiale Richtung darstellt (gegenüber der axialen Richtung entlang der Rotationsachse).
Simulation
Elementsteifigkeitsmatrix
Für ein ebenes Element werden die Abmessungen des Elementes in der Ebene aus der Position der Eck-Knoten berechnet. Für die dritte Raumrichtung wird eine Längeneinheit eingesetzt. Mit den Materialdaten wird daraus die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet.
Die Elementsteifigkeitsmatrix für ein ebenes Element der Strukturmechanik mit 4 Knoten (mit jeweils den 2 Freiheitsgraden ux,uy) enthält 8 x 8 Zahlenwerte. In der Skizze rechts ist eine solche Matrix prinzipiell mit der Zuordnung zu den Freiheitsgraden der Knoten uxI,uyI,...,uyL dargestellt.
Diese Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix werden bei der Vorbereitung der Lösung innerhalb des Elementes in das globale Koordinatensystem transformiert und in die Gesamtsteifigkeitsmatrix) des Gesamt-Gleichungssystems eingefügt.
Modellierung
Ebene Elemente sind in einer Ebene angeordnet (modelliert). Für das Verhalten normal zu der Ebene werden besondere Annahmen getroffen, sehen Sie dazu weiter oben die Anmerkungen zu "ebener Spannungszustand", "ebener Dehnungszustand" und "Axisymmetrie".
Lasten
Bei flächig verteilten Lasten (zum Beispiel Druck als Kraft pro Fläche in der Strukturmechanik oder Wärmestromdichte als Wärmestrom bzw. Leistung pro Fläche bei einem Temperaturfeld) auf die Ränder von ebenen Elementen wird die Fläche zugrundegelegt, die sich aus
- der Kantenlänge des Elementes in der Modellebene und
- einer Längeneinheit senkrecht zur Modellebene
ergibt. Wenn das Modell die Längeneinheit [m] hat, wird also in die Tiefe eine Abmessung von 1 m zugrunde gelegt. Wenn das Modell die Längeneinheit [mm] hat, wird in die Tiefe eine Abmessung von 1 mm zugrunde gelegt.
In der Skizze rechts ist der Lastvektor dargestellt, der aus den Lasten auf das Element gebildet wird. Für ein ebenes Element der Strukturmechanik mit 4 Knoten enthält er 8 Zahlenwerte.
Diese Lasten werden bei der Vorbereitung der Lösung innerhalb des Elementes auf die Knoten umgerechnet. Anschließend werden sie in das globale Koordinatensystem transformiert und (wie die Elementsteifigkeitsmatrix in die Gesamtsteifigkeitsmatrix) in den Lastvektor des Gesamt-Gleichungssystems eingefügt.
Lösung
Der numerische Aufwand für Volumen-Elemente bei der Lösung ist moderat (im Vergleich zu anderen Element-Typen).
Beispiel
An einem Beispiel der Strukturmechanik wird hier gezeigt, welche Zahlenwerte in der Elementsteifigkeitsmatrix des ebenen Elementes berechnet werden. Das Bauteil ist hier in der Abbildung rechts dargestellt. Es ist ein Quader mit den Abmessungen 50 x 20 x 1 mm. Als Materialdaten verwenden wir einen Elastizitätsmodul von 210000 MPa und eine Querkontraktion von 0.3. Dieses Modell entspricht in dem Beispiel der FEM-Handrechnung dem Element 2.
Hier wird das Bauteil mit einem Stab-Element mit einem FEM-Programm (ANSYS® Mechanical) simuliert. Als Element-Typ des ebenen Elementes der Strukturmechanik wird "PLANE182" verwendet. Eine Skizze des Modells ist hier in der Abbildung rechts gezeigt. Die Länge und die Breite des Elementes ergibt sich aus den Positionen der Knoten I,J,K,L.
Ebener Spannungszustand
Als Wanddicke des Elementes mit der Einstellung "ebener Spannungszustand" wird vom FEM-Programm automatisch die Einheitslänge 1 mm in den hier verwendeten Einheiten eingesetzt. Die Dateneingabe für ANSYS® Mechanical 17.0 finden Sie hier.
Die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix werden vom FEM-Programm ausgegeben werden als
Ebener Dehnungszustand
Für dieses Bauteil ist ein ebenes Element mit der Einstellung "ebener Dehnungszustand" eigentlich NICHT angemessen. Die Skizze des Modells in der hier rechts gezeigten Abbildung deutet an, dass ein solches Modell ein unendlich lang ausgedehntes Bauteil repräsentieren würde. Für einen Staudamm wäre ein solches Modell geeignet.
Diese Variante wird hier trotzdem weiter beschrieben, um die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix zu zeigen. Die Entscheidung zwischen diesem Modell mit "ebenem Dehnungszustand" gegenüber dem vorher dargestellten Modell mit "ebenem Spannungszustand" wird durch eine einzige Auswahl bei der Dateneingabe getroffen.
Als Wanddicke des ebenen Elementes mit der Einstellung "ebener Dehnungszustand" wird vom FEM-Programm automatisch die Einheitslänge 1 mm in den hier verwendeten Einheiten eingesetzt. Die Dateneingabe für ANSYS® Mechanical 17.0 finden Sie hier.
Die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix werden vom FEM-Programm ausgegeben werden als
Axisymmetrie bzw. Rotationssymmetrie
Für das hier gezeigte Bauteil ist ein ebenes Element mit der Einstellung "Axisymmetrie" ebenfalls NICHT angemessen. Die Skizze des Modells in der hier rechts gezeigten Abbildung zeigt, dass ein solches Modell ein kreis- bzw. ringförmig geschlossenes Bauteil repräsentieren würde. Für einen Flansch oder einen runden Behälter wäre ein solches Modell geeignet.
Diese Variante wird hier trotzdem weiter beschrieben, um die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix zu zeigen. Auch wenn die Skizze wie vorher das viereckige Element zeigt, ist jetzt die radiale Position des Elementes - also der Abstand von der Mittellinie des Ringes - wichtig. Hier wird in diesem Beispiel ein Radius von 30 mm für die Innenkante des Elementes eingesetzt. Der Radius geht bei Axisymmetrie in die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix ein.
Der Entscheidung zwischen diesem Modell mit "Axisymmetrie" gegenüber dem am Anfang dargestellten Modell mit "ebenem Spannungszustand" wird durch eine einzige Einstellung bei der Dateneingabe getroffen.
Als Ausdehnung in die Richtung normal zur Element-Ebene des ebenen Elementes mit der Einstellung "Axisymmetrie" wird vom FEM-Programm automatisch der gesamte Umfang eingesetzt. Die Dateneingabe für ANSYS® Mechanical 17.0 finden Sie hier.
Die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix werden vom FEM-Programm ausgegeben werden als
Selbststudium
Die Verwendung von verschiedenen Koordinatensystemen bei der Erstellung der Elementsteifigkeitsmatrix und der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschreibt eine Folge "Steifigkeitsmatrizen und Koordinatensysteme" an einem Beispiel.
Sonstige Begriffe
Sonstige Elementtypen sind Volumen-Elemente, Schalen-Elemente, Balken-Elemente, SolidShell-Elemente, Stab-Elemente.
In einem FEM-Modell können durchaus unterschiedliche Elementtypen gemeinsam verwendet werden. In solchen Fällen ist aber auf die angemessene Bindung der Freiheitsgrade zu achten.
Insbesondere zwischen ebenen Elementen und Schalen-Elementen kann es Verwechselungen geben. Beide Elementtypen sind viereckig und flach. Die grafische Darstellung ist direkt vergleichbar. Das Verhalten ist unterschiedlich:
- ebene Elemente können geometrisch nur in der Ebene angeordnet sein (die z-Koordinate MUSS Null sein), Schalen-Elemente können beliebig im 3-dimensionalen Raum angeordnet sein,
- ebene Elemente in der Strukturmechanik können sich nur in der Ebene verformen, Schalen-Elemente in der Strukturmechanik auch normal zu ihrer Ebene.
