Ansatzfunktion
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engl: trial function Kategorie: Level 2 Theorie
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Ansatzfunktion
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Simulation
Die Ansatzfunktion ist ein Begriff der Finite-Element-Methode (FEM). Bei dieser Methode wird das zu berechnende Bauteil in diskrete endliche "finite" Elemente aufgeteilt. Für jedes dieser Elemente wird mit der Ansatzfunktion das Verhalten des Elementes numerisch angenähert.
Der Vorteil der FEM besteht darin, dass die Ansatzfunktion der Elemente relativ einfach aufgebaut ist und sich für die numerische Lösung gut eignet.
Die Ansatzfunktion ist so aufgebaut, dass sie an den Knoten des Elementes bestimmte interne Anfangs- oder Randbedingungen einhält. Damit kann durch das Netz der Elemente, die an den Knoten zusammenhängen, das Verhalten des gesamten Bauteils geeignet abgebildet werden.
Ansatzfunktionen für verschiedene Elementtypen
Bei linienförmigen Elementen (Linie in der Ebene oder im Raum)
repräsentiert die Ansatzfunktion das Verhalten dieses 1-dimensionalen Gebietes. Dazu zählen zum Beispiel
Stab- oder Balken-Elemente.
Bei flächenförmigen Elementen (Rechteck in der Ebene) werden mehrere Ansatzfunktionen zugrunde gelegt,
die das Verhalten dieses 2-dimensionalen Gebietes in der Ebene repräsentieren und die miteinander
verknüpft sind. Dazu zählen zum Beispiel ebene Elemente (Plane-Elemente).
Bei räumlichen Elementen (Hexaeder, Tetraeder im Raum) werden mehrere Ansatzfunktionen zugrunde gelegt,
die das Verhalten dieses 3-dimensionalen Gebietes im Raum repräsentieren und die miteinander
verknüpft sind. Dazu zählen zum Beispiel Volumen-Elemente (Solid-Elemente).
Ein Sonderfall sind flächenförmige Elemente (Rechteck), die eine dünnwandige Struktur im Raum
repräsentieren. Hierfür werden mehrere Ansatzfunktionen zugrunde gelegt,
die das Verhalten dieses 2-dimensionalen Gebietes im Raum repräsentieren und die miteinander verknüpft sind. Dazu zählen zum Beispiel Schalen-Elemente
oder SolidShell-Elemente.
Selbststudium
Die Herleitung und Anwendung der Ansatzfunktionen wird im Selbststudium-Beispiel des konischen Zugstabes im Detail erläutert.
Zusammenhang mit anderen Begriffen
Bei der Lösung des Gleichungssystems werden die Freiheitsgrade berechnet. Das sind gleichzeitig die vorher unbekannten Anfangs- oder Randbedingungen der Ansatzfunktionen. Mit der Lösung ist also in jedem Element der Verlauf der Variablen bestimmt werden.
Diejenigen Ergebnisgrößen, die im Element durch Integration der Ansatzfunktionen bestimmt werden, sind an den Integrationspunkten der Ansatzfunktionen definiert. (In der Praxis der FEM-Anwendung wird auch von Integrationspunkten gesprochen, wenn ein Ansatz für eine besondere Querschnittsform getroffen wird. Diese Querschnitts-Integrationspunkte werden bei der Berechnung der Element-Steifigkeitsmatrix und nach der Lösung bei der Bestimmung der Ergebnisverteilung im Element-Querschnitt verwendet.)
Die Parameter der Ansatzfunktionen sind die Freiheitsgrade (in der Mechanik die Verschiebungen) der Knoten. Bei den meisten Elementen sind diese Ansatzfunktionen über die Elementgrenzen hinaus nur stetig in den Freiheitsgraden. Daraus abgeleitete Ergebniswerte der Elemente (in der Mechanik Dehnungen und Spannungen) haben dadurch Sprünge an den Elementkanten.