Zwischenknoten

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engl: midside node          Kategorie: Aa-leerbild.jpg Level 2 Theorie


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Die Elemente, die bei der Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) bei der Diskretisierung erzeugt werden, haben an den Stellen, an denen sie an benachbarte Elemente angrenzen, Knoten. Diese Knoten an den Enden oder Ecken der Elemente sieht man deutlich auf Darstellungen der Vernetzung als Verbindungsstellen des Element-Netzes.

Bei quadratischen Elementen werden entlang der Elementlänge oder -kante zusätzliche Knoten erzeugt. Sie werden Zwischenknoten oder auch Kantenmittenknoten genannt. Diese Zwischenknoten sieht man nicht so deutlich, weil die Element-Kanten an diesen Positionen gerade und ungestört aussehen. In der Abbildung oben rechts ist ein viereckiges Element (mit 4 "normalen" Knoten an den Ecken) skizziert. Ein Element mit dieser geometrischen Form und quadratischen Ansatzfunktionen hat zusätzlich die rot gezeichneten Zwischenknoten an den Mitten der Kanten (die Pfeile zeigen darauf).

Die Freiheitsgrade der Zwischenknoten ergeben zusätzliche Parameter für die höhere Ordnung der Ansatzfunktionen.

Inhaltsverzeichnis

Besonderheiten der Zwischenknoten

Geometrische Form des Elementes

Durch die Zwischenknoten kann ein Element mit quadratischen Ansatzfunktionen auch gekrümmte Konturen abbilden. In grafischen Abbildungen des FEM-Netzes wird in solchen Fällen oft nur eine stückweise lineare Außenkontur dargestellt, auch wenn numerisch die Ansatzfunktionen eine Krümmung der Kontur repräsentieren.


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Drucklasten (konsistente Lastverteilung)

Drucklasten (als verteilte Lasten in der Strukturmechanik, vergleichbar zu Wärmestromdichte beim Temperaturfeld) werden vor der Lösung der Simulation umgerechnet in äquivalente Kräfte auf die Knoten der Elemente. In der Abbildung rechts ist dies prinzipiell für eine quadratische Elementoberfläche gezeigt, wobei hier die Drucklast konstant über die gesamte Fläche ist. Betrachten wir an diesem Beispiel, wie die Gesamtkraft - also Druck mal Fläche - anteilig auf die Knoten des Elementes verteilt wird.

Bei einem linearen Element mit 4 Knoten an den Ecken wird die Drucklast durch eine anteilige Kraft in Höhe von 1/4 der Gesamtkraft auf jeden dieser Knoten abgebildet.

Bei einem quadratischen Element mit 8 Knoten (also 4 Knoten an den Ecken und zusätzlich 4 Zwischenknoten) wird die Drucklast durch eine anteilige Kraft in unterschiedlicher Höhe abgebildet. Die Anteile sind in der Abbildung angegeben: jeder der 4 Zwischenknoten muss eine anteilige Kraft von 1/3 der Gesamtkraft erhalten und an jedem der 4 Knoten an den Ecken muss eine Kraft in entgegengesetzter Richtung in Höhe von 1/12 der Gesamtkraft aufgebracht werden. Diese anteiligen Kräfte ergeben insgesamt zusammen mit den Ansatzfunktionen eine Lastverteilung, die einem konstanten Druck auf die Fläche entsprechen.

Auswertung

Bei der Auswertung von Ergebnissen der Simulation werden oftmals nur Zahlenwerte an den Eckknoten herangezogen und grafisch präsentiert. Die Verteilung über die Elementfläche zwischen diesen Ecken wird dann vereinfacht linear variiert. Eine solche vereinfachte Darstellung verringert deutlich den Aufwand der numerischen Verarbeitung der Grafikdaten und ist meistens ausreichend genau für Anwendungsfälle des Alltags.


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Kinematische Randbedingungen

Ein FEM-Modell, bei dem sowohl quadratische Elemente (mit Zwischenknoten) als auch lineare Elemente (ohne Zwischenknoten) verwendet werden, ist durchaus akzeptabel. Dort, wo diese Elemente benachbart sind, sind aber Übergangsbedingungen zu beachten. In der Abbildung rechts ist ein solcher Bereich zwischen viereckigen quadratischen Elementen (linker Modellbereich) und linearen Elementen (rechter Modellbereich) skizziert. An der gemeinsamen Kante zwischen diesen beiden Bereichen ist ein Zwischenknoten (roter Kreis) vorhanden, der nicht Bestandteil des rechts angrenzenden linearen Elementes ist.

Wenn wir dieses Modell unter einer Last betrachten und dadurch Verformungen auftreten (zum Beispiel so wie in der Abbildung transparent eingezeichnet bzw. darunter nochmal dargestellt), dann ist an dieser Kante eine Auswirkung der unterschiedlichen Ansatzfunktionen zu erkennen. Das Klaffen, das hier prinzipiell skizziert ist, entspricht natürlich nicht der Realität und ergibt eine Ungenauigkeit der Ergebnisse. Dies kann als eine Verletzung der kinematischen Randbedingungen bezeichnet werden (der Bedingungen, die für hier für die Elementränder maßgebend sind).

Ein solcher Übergang von quadratischen zu linearen Elementen sollte dadurch hergestellt werden, dass bei der Vernetzung die angrenzenden quadratischen Elemente in ihren Ansatzfunktionen teilweise reduziert werden. Dies ist hier in der Abbildung unten rechts beispielhaft dargestellt: das angrenzende quadratische Element ist auf 4 Eckknoten und nur 3 Zwischenknoten reduziert, die Ansatzfunktionen sind so reduziert, dass entlang der Begrenzungskante nur eine lineare Verschiebung auftreten kann (die Kante bleibt gerade).

Solche Reduktionen der Ansatzfunktionen ergeben prinzipiell eine geringere Genauigkeit der Ergebnisse, wobei der numerische Aufwand weiterhin hoch ist. Solche Übergänge zählen auch zu den Nachteilen der p-Methode.

Selbststudium

In dem einfachen Beispiel zum Selbststudium wird die Anwendung von Elementen mit quadratischem Ansatz im Detail vorgestellt.

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