Modalanalyse

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Version vom 10. Oktober 2012, 08:33 Uhr

engl: modal analysis          Kategorie: Level 2 Theorie Mechanik

Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Modalanalyse

Simulation

Eine Modalanalyse wird zur Bestimmung der Eigenfrequenzen (Eigenwerte) und der Eigenschwingungsformen in der Strukturdynamik verwendet. Die Modalanalyse wird auch Eigenwertanalyse oder Eigenwertproblem genannt.

Die Ergebnisse der Modalanalyse, die Eigenwerte, Eigenfrequenzen und Eigenformen, sind wichtige Parameter für die Auslegung einer Struktur bezüglich dynamischer Belastungen. Sie werden außerdem benötigt, wenn anschließend eine Spektrumanalyse oder auch eine Frequenzganganalyse oder transiente dynamische Simulation mit Hilfe der modalen Superposition (Überlagerung der Eigenschwingungsformen) durchgeführt werden soll.

Als Ergebnis werden meistens auch für die gefundenen Eigenfrequenzen die Beteiligungsfaktoren (participation factors) ausgegeben. Dies erleichtert die Bewertung des jeweiligen Eigenwertes bzw. der zugehörigen Eigenform hinsichtlich der Bedeutung für die Dynamik des Bauteils.

In Koordinatenrichtungen, in denen keine Festhaltungen definiert sind, werden Starrkörperformen (Rigid Body Modes, Zero Frequency Modes), aber auch Eigenschwingungsformen höherer Ordnung des elastischen Körpers (Higher Free Body Modes, Frequenz ungleich Null) berechnet.

Merke: eine Modalanalyse gilt immer für das lineare Simulationsmodell.

Grundlagen

Grundlagen der Modalanalyse sind bei Modalanalyse_Theorie dargestellt.

Mit der Modalanalyse können die Eigenfrequenzen und auch die Eigenformen ermittelt werden. Die Eigenfrequenzen sind System- bzw. Bauteilkennwerte, also für dieses Bauteil charakteristische Frequenzen. Zu jeder dieser Eigenfrequenzen gibt es eine zugehörige Eigenform. Diese Eigenform ist diejenige Verformung, die das Bauteil bei der Schwingung mit dieser Frequenz zeigen würde. Der Ausdruck „...zeigen würde“ soll verdeutlichen, dass erst dann auch wirklich eine Schwingung und Verformung auftritt, wenn eine Anregung vorliegt. Abhängig von dieser Anregung ergibt sich dann eine Gesamtschwingung des Bauteils, die sich im wesentlichen aus den einzelnen Schwingungsformen zusammensetzt. Man erhält durch die Eigenfrequenzen und Eigenformen also einen Hinweis, wie sich ein System bei dynamischer Belastung verhält. Die Amplituden der Eigenformen sind NICHT für eine technische quantitative Auswertung des Bauteils geeignet (sie werden bei der Lösung geeignet skaliert), nur die Form ist für eine qualitative Beurteilung der Dynamik des Bauteils geeignet.

Was ist als Eingabe erforderlich?

Als Eingabe sind KEINE Lasten erforderlich. Lagerungen können nur als Festhaltung vorgegeben werden.

Was ist als Ergebnis zu erwarten?

Das Ergebnis der Modalanalyse sind Eigenwerte und Eigenfrequenzen. Für jeden Eigenwert bzw. jede Eigenfrequenz wird eine Eigenform berechnet, das sind Verschiebungen, Dehnungen, Spannungen für einen Zustand. Mit diesen Ergebnissen kann man das Bauteil strukturdynamisch "verstehen" und prinzipielle Eigenschaften erkennen.

Eine Eigenform ist nur qualitativ zu verstehen, es ist diejenige Verformung, die das Bauteil bei der Schwingung mit dieser Frequenz zeigen würde. Die Zahlenwerte sind normiert, also nur zum Vergleich miteinander geeignet. Also: eine Verschiebung von xxx m wird nicht auftreten, sondern soll zeigen, dass sie größer oder kleiner ist als eine Verschiebung an einer anderen Stelle des Modells.

Was ist NICHT als Ergebnis zu erwarten?

Die Modalanalyse liefert keine Informationen über tatsächliche Verschiebungen, Dehnungen, Spannungen unter bestimmten Lasten.

Nichtlinearitäten, Kontakt

Die Modalanlyse ist eine lineare Analyse. Es kann also keine Änderung des Bauteilverhaltens berücksichtigt werden, die von den Verschiebungen oder Verdrehungen abhängt. Jegliche Nichtlinearitäten wie Plastizität und Kontaktelemente bleiben unberücksichtigt, auch wenn sie in der Praxis vorhanden sind.

Bei Nichtlinearitäten wie Plastizität wird ein Anfangszustand für die Modalanalyse zugrunde gelegt, zum Beispiel der Elastizitätsmodul oder die Anfangssteigung der Spannungs-Dehnungs-Funktion.

Bei Kontaktelementen wird ein bestimmter Zustand (offen, geschlossen) zugrunde gelegt. Dieser Zustand bleibt unabhängig von der berechneten Eigenform, der Kontakt ändert sich also nicht durch die Verschiebungen. Dazu finden Sie weitere Details bei Kontakt: Grundlagen.

Lösungsverfahren

Bei der Simulation kann man aus mehreren Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Eigenschwingungsformen wählen:

• Householder-Methode (reduced),
• Unterraummethode (subspace),
• Verfahren für unsymmetrische Matrizen (unsymmetric) oder für gedämpfte Systeme (damped) und
• Block-Lanczos-Methode.

Eine nützliche Hilfe bei der Idealisierung ist die zyklische Symmetrie, bei der die Analyse einer zyklisch symmetrischen Struktur nur anhand eines Sektors durchgeführt werden muss.

Die einzigen "Lasten", die in einer Modalanalyse definiert werden können, sind Festlegungen von Verschiebungen auf den Wert Null. Verschiebungen mit vorgegebenen Werten ungleich Null werden zu Null gesetzt. Andere Lasten können eingegeben werden, bleiben aber unberücksichtigt.

Modalanalysen können auch an vorgespannten Strukturen, wie z.B. einer rotierenden Turbinenschaufel, durchgeführt werden. In diesem Fall wird zunächst eine statische Simulation durchgeführt. Diese liefert die numerischen Werte, die die Vorspannung darstellen (Spannungsmatrix). Darauf baut die Modalanalyse der vorgespannten Struktur auf. Die Eigenwerte sind damit abhängig von der Massen-, der Steifigkeits- und der Spannungs-Matrix.

Tips und Tricks

Modelle, bei denen Starrkörper-Moden auftreten, liefern im Ergebnis Eigenfrequenzen von Null (bzw. wegen der Näherungen bei der Anwendung der Lösungsverfahren Werte nahe Null).

Der Modalanalyse kann auch ein "frei schwebendes" Bauteil zugrunde liegen. Im technischen Alltag kann dies für sehr weich gelagerte Bauteile zutreffen. Auch ein schwimmendes Schiff oder ein Flugzeug im Flug verhalten sich fast so. Natürlich gilt dies auch für einen Satelliten in der Schwerelosigkeit. Hierbei spricht man auch von einer frei-frei-Schwingung.

Bei der Erstellung von Simulationsmodellen - insbesondere wenn CAD-Daten zugrunde liegen - müssen alle separaten Teile des Bauteils miteinander in Verbindung gebracht werden (zum Beispiel über Kontakt-Bedingungen) oder statisch ausreichende Festhaltungen. Um dies zu prüfen, kann eine Modalanalyse durchgeführt werden. Teile des Modells, die nicht ausreichend gehalten sind, liefern dabei Null-Eigenwerte/-Eigenfrequenzen.

Sonstige Begriffe

Wenn Dämpfung berücksichtigt werden soll, ergeben sich bei der Modalanalyse komplexe Eigenwerte. In diesem Fall müssen bei der numerischen Lösung mehr Zahlenwerte verarbeitet werden, der numerische Aufwand wird höher. Außerdem führt die Kombination der Zahlenwerte auf unsymmetrische Matrizen, so dass die Lösung der Modalanalyse besondere numerische Algorithmen erfordert (unsymmetrische Solver).

Eine begleitende Modalanalyse kann als Lösungs-Unterstützung bei Beulanalysen eingesetzt werden. Die begleitende Modalanalyse verwendet die Eigenschaft, dass bei einem Stabilitätsfall (also beim Enstehen einer Beule) in der Strukturmechanik der Eigenwert der aktuellen Matrizenwerte den Wert Null erreicht. Diese Vorgehensweise ist eine Beispiel für eine Perturbation.

Bei einer Modalanalyse können die Corioliskräfte berücksichtigt werden.

Bei der Anwendung einer Modalanalyse im Rahmen einer Optimierung muss auf die Zuordnung der Eigenwerte und Eigenformen durch Modal tracking geachtet werden.

Beispiel: Windkraftanlagen-Turm

Windkraftanlagen-Turm Modalanalyse

Selbststudium

Ein besonders anschauliches Beispiel finden Sie hier: die Idealisierung und Modalanalyse eines Lineals an der Schreibtischkante.

Weiterführende Informationen

Ein weiterführendes Seminar speziell hierzu finden Sie bei
Modalbasierte lineare Dynamik - Modalanalyse, Frequenzganganalyse, Antwortspektrumanalyse

Ein Info-Webinar speziell hierzu finden Sie bei
Dynamik kompakt