Zyklische Symmetrie

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engl: cyclic symmetry          Kategorie: Level 3 Theorie

Zyklische Symmetrie ist eine besondere Art der Symmetrie.

Zyklische Symmetrie liegt vor, wenn es für das Bauteil eine Rotationsachse gibt und das Bauteil aus einem mehrfach wiederholten Sektor (in Bezug auf diese Achse) besteht. Es ist damit ausreichend, einen dieser typischen Sektoren zu betrachten. Insbesondere wenn das Bauteil aus zwei Sektoren mit 180 Grad Winkel zusammengesetzt ist, wird auch von Punktsymmetrie gesprochen.

An der Grenze der Sektoren müssen für beide benachbarten Sektoren gleiche Konturen vorliegen (nur dann "passen" die Sektoren zueinander). Diese Symmetriebedingung bedeutet für den Sektor, dass "links" und "rechts" gleiche Bedingungen vorliegen müssen.

Verbindung der Sektor-Ränder

In der Simulation kann durch die Reduktion des Modells auf einen Sektor der Rechenaufwand erheblich reduziert werden. An den Schnitträndern des Sektors sind die Freiheitsgrade jeweils so zu verbinden, dass zyklisch wiederholt gleiches Verhalten erzwungen wird. Dies wird durch eine Bindung von Freiheitsgraden erreicht. Damit wird berücksichtigt, dass ein Freiheitsgrad an einer Position des Sektor-Schnittrandes gleich demjenigen der entsprechenden Position des anderen Sektor-Schnittrandes gesetzt wird. Für beide verbundenen Freiheitsgrade ist damit nur ein - durchaus von Null verschiedener - Ergebniswert möglich.

Diese Verbindung der Sektor-Ränder wird im allgemeinen automatisch durch das Simulationsprogramm bei der Diskretisierung berücksichtigt.

Randbedingungen und Lasten

Nur selten sind allerdings bei solchen zyklisch symmetrischen Bauteilen auch die Randbedingungen (also Lagerungen und Lasten) zyklisch symmetrisch. Oft sind diese Einflüsse also von einem Sektor zum anderen unterschiedlich. Dies gilt auch für Modalanalysen, bei denen zwar die Geometrie zyklisch symmetrisch ist, nicht aber die Eigenformen des gesamten Bauteils. Wenn die Verteilung dieser äußeren Einflüsse nicht zyklisch symmetrisch ist, sind besondere numerische Methoden erforderlich, um trotzdem ein reduziertes Modell eines Sektors verwenden zu können. Es gibt Verfahren in der Finite-Elemente-Methode, mit dem bei einem zyklisch symmetrischen Bauteil das Modell auf einen Sektor reduziert werden kann, trotzdem aber eine Modalanalyse für den gesamten Umfang (also das Vielfache des Sektors) durchgeführt werden kann. Diese Verfahren sind besonders effektiv in Hinsicht auf Speicherbedarf und Rechenzeit der Anwendung.

Beispiele

Typische zyklisch symmetrische Bauteile sind

• Zahnräder,
• Speichenräder,
• Turbinen- und Pumpenräder,
• ..

Das rechts gezeigte Zahnrad mit schräger Verzahnung ist eine Anwendung, bei der die Schnittflächen des Sektors als schräg im Raum liegende Fläche gewählt werden sollten. Damit kann die Oberkante eines Zahnes als obere Grenze des Sektors dienen. Die Schnittfläche geht von dort aus einwärts durch die Radgeometrie hindurch. Es gibt keine besonderen Vorgaben für diese Fläche außer, dass sie derjenigen der anderen Seite des Sektors in Bezug auf die Rotationsachse geometrisch gleichartig (ähnlich) sein muss. Das bedeutet, dass die geometrische Form und die Vernetzung der einen Schnittfläche ein genaues Abbild der anderen Schnittfläche an dem anderen Umfangswinkel sein muss. Es können also auch in sich nicht-ebene, gekrümmte Schnittflächen sein.

Die Netzaufteilung des FEM-Modells muss auf beiden Schnittflächen des Sektors gleich sein, damit jeweils einander zugeordnete Knotenpaare vorliegen und die Kopplung der Freiheitsgrade (DOF) erfolgen kann.

Diese Bedingungen an den Schnittflächen ergeben an den Schnittflächen in der Strukturmechanik durchaus ungleichmäßige Verformungen und Reaktionskräfte in Umfangsrichtung. Die Summe der Umfangskräfte an jeder Schnittflächen muss Null ergeben. Bei einer Temperaturfeld-Simulation kann es entsprechend durchaus ungleichmäßige Temperaturen und Wärmeströme an den Schnittflächen geben. Die Summe der Wärmeströme an jeder Schnittflächen muss Null ergeben.