Element

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Aktuelle Version vom 17. Dezember 2015, 10:26 Uhr

engl: element          Kategorie: Level 1

Ein Element ist hier im Bereich der Simulation mit der Finite-Element-Methode (FEM) ein diskreter Abschnitt des Bauteils bzw. des Gebietes, das berechnet werden soll.

Bei der FEM wird für die Differentialgleichungen, die das Bauteilverhalten beschreiben, ein Ansatz für Abschnitte gewählt und Verbindungsbedingungen dieser Abschnitte berücksichtigt. Für diese Abschnitte ist der Begriff "Element" üblich. Da die Elemente endliche Abmessungen haben, entstand die Bezeichnung "finite Elemente" und "Finite-Element-Methode" (FEM).

In der praktischen Anwendung der FEM ist ein wesentlicher Teil der Bearbeitung die Aufteilung des Bauteils in Elemente. Dies wird die Diskretisierung genannt.

Für jedes Element werden Ansatzfunktionen zugrunde gelegt. Damit wird für das Element die geeignete Eigenschaft für die untersuchte Physik abgebildet, also

• die Steifigkeit in der Strukturmechanik,
• die Leitfähigkeit im Temperaturfeld,
• die Feldeigenschaften beim Magnetfeld usw.

Diskretisierung

Ein Element in der FEM-Simulation

• hat Knoten an den Enden oder Ecken und damit geometrische Abmessungen: die geometrischen Abmessungen resultieren aus der Lage der Knoten im Raum,
• es muss mit einem physikalischen Verhalten ausgestattet werden: wenn Strukturmechanik gewählt wird, dann wird die Steifigkeit des Elementes berechnet, wenn Temperaturfeld gewählt wird, dann wird die Leitfähigkeit für Wärme berechnet, usw.,
• es muss die Materialdaten für das gewählte physikalische Verhalten erhalten und
• manchmal benötigt es zusätzliche Querschnitts- oder Dicken-Angaben.

Als Element-Typ bezeichnet man die Eigenschaft, welche geometrische Form das Element hat und mit welchem physikalischen Verhalten es ausgestattet wird. Das physikalische Verhalten kann auch eine Kombination von Effekten sein, dann spricht man von Multiphysik.

Zu den zusätzlichen Angaben gehört die Dicke für Schalen-Elemente oder die Querschnittsfläche und Trägheitsmomente für Balken- oder Stab-Elemente.

Bei der Diskretisierung wird das Bauteil in eine Anzahl von Elementen aufgeteilt. Diese Element sind an den Ecken bzw. Enden über Knoten verbunden. Diese Aufteilung des Bauteils wird auch Vernetzung genannt. Es ist durchaus üblich, bei der Vernetzung für Simulationen der Strukturmechanik bis zu einigen Millionen Elemente erzeugen zu lassen. Hierbei stellen in der Anwendungs-Praxis nur die Hardware-Möglichkeiten (Speicherplatz, Prozessorleistung) eine Grenze dar.

Element-Typen

Zur Abbildung der Geometrie sind verschiedene Element-Typen üblich:

• punkt-förmige Elemente: konzentrierte Massepunkte, sie können auch Referenzpunkte für geometrische Konturen wie Kontaktoberflächen darstellen, ein solches Element hat einen Knoten,
• linien-förmige Elemente, Balken-Elemente, Stab-Elemente, ein solches Element hat 2 Knoten,
• ebene Elemente: Kontinuums-Elemente für ein ebenes Modell, für 2-dimensionale Modelle mit Rotationssymmetrie, für ebenen Spannungszustand oder ebenen Dehnungszustand, ein solches Element hat 4 (oder manchmal nur 3) Knoten,
• Schalen-Elemente: flächige dünnwandige Elemente, ein solches Element hat 4 (oder manchmal nur 3) Knoten,
• Volumen-Elemente: 3-dimensional, Hexaeder, Tetraeder, Pyramiden, ein solches Element hat 8 (oder manchmal nur weniger) Knoten.

Der Zusammenhang zwischen einem Element und den Knoten an den Enden oder Ecken kann komplizierter werden, wenn quadratische Elemente verwendet werden, die zusätzliche Zwischenknoten (Kantenmittenknoten) haben.

Für besondere Aufgaben der FEM-Modellierung können auch Elemente ohne eine definierte geometrische Form eingesetzt werden. Dazu zählen Superelemente, die Ansatzfunktionen für einen geometrisch unbestimmten Raum repräsentieren, indem entsprechende Steifigkeitswerte eingesetzt werden.

Lösung

Bei der Lösung werden für jedes Element die Lasten auf das Element (Drucklast, Eigengewicht) umgerechnet in Lastanteile an den Knoten des Elementes.

Dann wird für jedes Element die Element-Steifigkeitsmatrix und je nach Art der Analyse die Massenmatrix oder andere Daten berechnet.

Bei nichtlinearen Simulationen werden für jedes Element innere Kraftgrößen berechnet, um Konvergenz zu erreichen.

Aus den Element-Steifigkeitsmatrizen wird dann die Gesamt-Steifigkeitsmatrix zusammengesetzt. Die Zahlenwerte der Element-Steifigkeitsmatrizen werden an denjenigen Positionen der Gesamt-Steifigkeitsmatrix eingesetzt, die sich aus den Freiheitsgraden der Knoten des jeweiligen Elementes ergeben.

Bei der Auswertung werden die berechneten Werte der Freiheitsgrade für die Rückrechnung verwendet. Dabei werden mit den Ansatzfunktionen die Ergebniswerte innerhalb des Elementes bestimmt. In der Strukturmechanik zum Beispiel sind dies die Dehnungen und Spannungen.

Selbststudium

Zum Selbststudium ist für ein einfaches Beispiel ausführlich dargestellt, wie eine Aufgabenstellung der Strukturmechanik mit einem Modell mit der Finite-Elemente-Methode gelöst wird.

Sonstige Begriffe

Der Zusammenhang der Elemente eines FEM-Berechnungsmodells erfolgt über die Knoten.