Elementsteifigkeitsmatrix
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: element stiffness matrix Kategorie: 
Level 2 Theorie
Die Elementsteifigkeitsmatrix (Element-Steifigkeitsmatrix) ist die Matrix der Zahlenwerte, die die Steifigkeit eines Elementes bei der Anwendung der FEM darstellt.
Bei der Lösung einer Simulation mit der FEM wird zunächst für jedes Element die Elementsteifigkeitsmatrix erstellt. Sie enthält die Zahlenwerte, die die Steifigkeit des Elements darstellen. Damit wirkt das Element als eine Verbindung der Freiheitsgrade der Eckknoten. Man kann sich das wie eine Feder zwischen den Knoten vorstellen.
Die Zahlenwerte werden aus den Abmessungen des Elementes und den Materialdaten berechnet.
- Im einfachsten Fall für ein Stab-Element (also ein gerades strichförmiges Element zwischen 2 Knoten) gehen in die Elementsteifigkeitsmatrix die Länge des Elementes (also die Distanz zwischen den beiden Knoten), die Querschnittsfläche des Elementes und die Materialdaten (der Elastizitätsmodul) ein.
- Für ein Balken-Element gehen in die Element-Steifigkeitsmatrix die Länge des Elementes (die Distanz zwischen den beiden Knoten), die Querschnitts-Eigenschaften (Quer-Abmessungen, Querschnittsfläche, Biege-Trägheitsmomente) des Elementes und die Materialdaten ein.
- Für ein Schalen-Element werden die Abmessungen des Elementes in der Schalen-Ebene aus der Position der Eck-Knoten berechnet, die Abmessung quer zur Schalen-Ebene ist durch die Schalendicke gegeben, und mit den Materialdaten wird daraus die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet.
- Für ein ebenes Element werden die Abmessungen des Elementes in der Ebene aus der Position der Eck-Knoten berechnet, mit den Materialdaten wird daraus die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet. Für die dritte Raumrichtung wird eine Längeneinheit eingesetzt.
- Für ein Volumen-Element werden alle Abmessungen des Elementes aus der Position der Eck-Knoten berechnet, mit den Materialdaten wird daraus die Elementsteifigkeitsmatrix berechnet.
Weitere Details zu den Elementmatrizen sind bei den jeweiligen Element-Typen beschrieben.
Bei der Fortsetzung der Lösung werden die Elementsteifigkeitsmatrizen aller Elemente des Simulationsmodells zur Gesamtsteifigkeitsmatrix zusammengefügt.
Der Begriff der Elementsteifigkeitsmatrix ist direkt verständlich für Simulationen der Strukturmechanik. Generell ist damit die Steifigkeitsmatrix eines Elementes auch bei Simulationen anderer Physiken wie Temperaturfeld, Magnetfeld und anderen gemeint.
Warum gibt es die Elementsteifgkeitsmatrix in der Finite-Elemente-Methode?
Im einfachsten Fall für ein Stab-Element steht in der Elementsteifgkeitsmatrix das, was als Mechanik-Grundlagenwissen für eine Feder gelehrt wird:
F = c x
oder in Worten etwa "Kraft" gleich "Steifigkeit" mal "Verschiebung" (bzw. "Längenänderung"). Dieser Zusammenhang wird schon lange verwendet. Warum muss die Finite-Elemente-Methode hierzu die Bezeichnung Elementsteifigkeitsmatrix einführen?
Dies liegt
- an der Erweiterung vom einfachsten Fall des Stab-Elementes hin zu Volumen-Elementen und
- an der Anwendung auf große Modelle mit vielen Elementen.
Die Erweiterung vom einfachsten Fall des Stab-Elementes hin zu Volumen-Elementen bedeutet die Erweiterung von 1 Dimension zu 2 und 3 Dimensionen. Das Stab-Element ist 1-dimensional. Nur die Länge des Elementes bzw. der Feder und die Änderung dieser Länge durch eine Kraft wird betrachtet. In der Zeit um 1960 herum wurde von Ray Clough für ein flächiges Gebiet mit 3 Eck-Knoten und konstanter Dehnung eine entsprechende Beziehung entwickelt, die nun 2-dimensional war und die Quer-Kopplung der beiden Richtungen in der Ebene berücksichtigte. Dies ergibt eine Gruppe von mehreren Gleichungen, die miteinander verknüpft sind. Eine Analogie zwischen der Steifigkeit c des Stabes einerseits und der Kombination von Elastizitätsmodul und Querschnittsabmessungen des flächigen Gebietes andrerseits ist erkennbar. Clough hat für das flächige Gebiet mit den Eck-Knoten den Namen "finites Element" geprägt. Bald danach wurden auch 3-dimensionale Volumen-Elemente formuliert.
Für die Anwendung auf große Modelle mit vielen Elementen ist die Hardware der numerischen Computer und deren Programmierung wesentlich. Dadurch kommt der Begriff der Matrix hinzu. In der Mathematik kann damit für Gleichungssysteme die Schreibweise und die Arithmetik erleichtert werden. Diese Systematik kann gut in die Programmerung übertragen werden.
Daraus ergibt sich, dass die Elementsteifigkeitsmatrix
- die Steifigkeit (eines Elementes, also) eines Gebietes zwischen mehreren Eck-Knoten ist und
- eine Schreibweise (als Matrix) verwendet wird, die für eine Gruppe von zusammenhängenden Gleichungen und insbesondere für die Programmierung geeignet ist.
Selbststudium
Die Herleitung und Anwendung der Elementsteifigkeitsmatrix wird zum Selbststudium in dem Beispiel des konischen Zugstabes im Detail erläutert.
Die Verwendung von verschiedenen Koordinatensystemen bei der Erstellung der Elementsteifigkeitsmatrix und der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschreibt eine Folge "Steifigkeitsmatrizen und Koordinatensysteme" an einem Beispiel.
Sonstige Begriffe
Bei der Lösung der FEM-Anwendung die Elementsteifgkeitsmatrizen aller Elemente zusammengefügt zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix.
