Konvergenz
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: convergence Kategorie: 
Level 2 Theorie
Konvergenz ist die Annäherung an einen Grenzwert. Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Grenzwert. In der numerischen Simulation wird dieser Begriff verwendet
- für die iterative Lösung der Simulation von Nichtlinearitäten und
- für die Veränderung der Ergebnisse durch die Näherung der Diskretisierung.
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Konvergenz bei der iterativen Lösung der Simulation von Nichtlinearitäten
Die Lösung der Simulation bei einem Modell mit Nichtlinearitäten wird durch eine Folge von Gleichgewichtsiterationen erreicht. Nach jeder Iteration wird eine Gleichgewichts-Kontrolle durchgeführt. Dabei werden mit den berechneten Ergebnissen die inneren Kräfte (Kraftgrößen) berechnet und mit den außen wirkenden Kräften (Kraftgrößen) verglichen. Wenn diese Kontrolle nur noch einen geringfügigen Restwert {R} (Residuum) ergibt, ist Konvergenz dieser Iterationsfolge erreicht.
Der Grenzwert für den Restwert {R} (Residuum) der Gleichgewichts-Kontrolle wird Konvergenzkriterium genannt.
Konvergenz wird festgestellt, wenn das Residuum {R} für das gesamte Modell kleiner ist als das Konvergenzkriterium. Genau genommen wird ein Normwert daraus gebildet, um zu berücksichtigen, dass im Extremfall
- ein einziges Element das Residuum bestimmt (dann würde unnötig viel iteriert, um dieses eine Element genauer zu berechnen) oder
- alle Elemente einen kleinen Beitrag des Residuums beisteuern (dann würde unnötig viel iteriert, um die geringe Rest-Ungenauigkeit aller Elemente noch zu reduzieren).
Im allgemeinen wird der Wert des Konvergenzkriteriums so festgelegt, dass das verbleibende Ungleichgewicht (Residuum) klein ist. Bei dieser Festlegung sind im wesentlichen praktische und technische Gesichtspunkte anzuwenden. Das heißt zum Beispiel, dass das Konvergenzkriterium bei einer Simulation der Strukturmechanik
- für das Biegen eines Halbleiter-Kabels etwa 1 mN,
- für eine Crash-Simulation eines PKW etwa 100 N und
- für die Simulation einer Kollision eines Schiffes mit einem Riff etwa 10 kN
betragen könnte. Es ist an diesen Beispielen sicherlich nachvollziehbar, dass die Größe des Bauteils und der beteiligten Kraftgrößen (also der Kräfte in der Strukturmechanik) in diese Festlegung eingeht.
Der Nutzen eines kleinen Konvergenzkriteriums (Genauigkeit) ist aufzuwiegen gegen den numerischen Aufwand und die Anzahl der Iteration bis zur Konvergenz (Rechenzeit).
Konvergenz bei der Veränderung der Ergebnisse durch die Diskretisierung
Die Diskretisierung des Bauteils - bei der FEM die Netzaufteilung in diskrete Elemente - stellt eine Näherung der theoretischen Lösung dar. Damit zeigt sich bei der Auswertung der Ergebnisse eine Abweichung von einer geschlossenen oder experimentellen Lösung.
Um die Abweichung zu reduzieren, kann die H-Methode verwendet werden. Sie verwendet das Prinzip
- feinere Netzaufteilung bei der Diskretisierung -> mehr Elemente -> genauere Ergebnisse.
Ein Beispiel einer FVM-Anwendung der Fluiddynamik (Janiga, CADFEM Users Meeting 2011, Stuttgart) zeigt folgende Werte. Verschiedene Modellierungen wurden untersucht:
- Modell 0,2M mit 200.000 Elementen,
- Modell 1M mit 1 Million Elementen,
- Modell 5M mit knapp 5 Millionen Elementen,
- Modell 25M mit 25 Millionen Elementen.
Diese Modelle ergaben etwa folgende normierte Werte einer der wesentlichen Ergebnisgrößen:
- 1.00 ; 1.04 ; 1.07 ; 1.08
Bei dieser Abhängigkeit der Ergebnisgröße von der Diskretisierung kann der Grenzwert und damit die die Konvergenz erkannt werden. Eine Abhängigkeit dieser Art ist typisch für den Einfluss der Netzaufteilung bei der H-Methode.
Eine Konvergenz der Diskretisierung kann durch eine automatische Wiederholung der Simulation mit unterschiedlichen Netzaufteilungen erreicht werden. Dann spricht man von einer adaptiven Vernetzung.
Alternativ zur H-Methode kann die P-Methode verwendet werden. Sie verwendet das Prinzip
- höherer Polynomgrad der Ansatzfunktion bei der Lösung -> mehr Freiheitsgrade -> genauere Ergebnisse.
Es ist üblich, den Polynom-Grad von 1 oder 2 bis zu 9 zu steigern und die Änderung der Ergebnisse auszuwerten.
Tips und Tricks
Bei der transienten Simulation von Temperaturfeldern mit Phasenwechsel treten oft Konvergenzprobleme auf. Sie sind im wesentlichen abhängig von der Enthalpie-Temperatur-Funktion. Mit einer Stufe dieser Funktion wird die latente Wärme simuliert. Hinweise zum Umgang mit diesen Konvergenzproblemen finden Sie bei Phasenwechsel.
Sonstige Begriffe
Wenn bei der Veränderung der Netzfeinheit durch die Diskretisierung keine Konvergenz erreicht werden kann, liegt wahrscheinlich eine Singularität vor.
Selbststudium
Zum Selbststudium ist für ein einfaches Beispiel der Strukturmechanik mit 2 Elementen auch die Vorgabe einer Materialnichtlinearität betrachtet. Bei der Lösung wird eine Folge von Gleichgewichtsiterationen bis zur Konvergenz dargestellt.
