Differentialgleichung

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engl: differential equation          Kategorie: Aa-leerbild.jpg Level 2 Theorie


Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, bei der Differentiale der Variablen enthalten sind. Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Differentialgleichung

Simulation

Ein typisches Beispiel einer Differentialgleichung ist die Bewegungsgleichung der Strukturmechanik:

Differentialgleichung-1.jpg


Hierbei ist die Verschiebung x von der Zeit abhängig. Die Gleichung verknüpft die Verschiebung sowie deren erste und zweite Ableitung nach der Zeit. Mit diesen Ableitungen nach der Zeit wird auch von Strukturdynamik gesprochen.

Ein vergleichbares Beispiel einer Differentialgleichung ist die Gleichung für Wärmeleitung (Temperaturfeld):

Differentialgleichung-2.jpg


Hier ist die Temperatur T von der Zeit abhängig und in der Gleichung verknüpft mit der ersten Ableitung nach der Zeit.

Bei der Finite-Elemente-Methode (FEM) wird durch die Aufteilung des Bauteils in finite Elemente (Diskretisierung) aus der Diffentialgleichung eine Differenzengleichung und ein Gleichungssystem gemacht. Damit wird die Anwendung von numerischen Methoden erleichtert. Für die Strukturmechanik ergibt sich in Matrizenschreibweise

Differentialgleichung-3.jpg


und für die Wärmeleitung (Temperaturfeld)

Differentialgleichung-4.jpg


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