Implizite Lösung

Aus ESOCAETWIKIPLUS

Wechseln zu: Navigation, Suche

engl: implicit solution          Kategorie: Aa-leerbild.jpg Level 2 Theorie


Die implizite Lösung betrifft Simulationen mit der Finite-Element-Methode (FEM). Bei einer impliziten Lösung wird - ausgehend vom Zeitschritt tn - die Bewegungsgleichung für den Zeitpunkt tn+1 aufgestellt und gelöst.

Implizite-Loesung-1.jpg

Im Folgenden wird eine transiente Simulation der Strukturmechanik zugrunde gelegt. Hierbei wird die implizite Lösung vorgestellt (im Gegensatz zur expliziten Lösung).

Eine besonders anschauliche Gegenüberstellung der expliziten und impliziten Lösung finden Sie hier.

Rechts in der Abbildung sind typische Fälle von Simulationen im Alltag gezeigt:

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Bei einer transienten Simulation der Strukturmechanik ist die Bewegungsgleichung zu lösen:

Explizite-Loesung-1.jpg


Dies ist die Differentialgleichung, die für die Massen- bzw. Trägheits-, Dämpfungs- und Elastizitäts-Einflüsse das Kraftgleichgewicht darstellt (Bewegungsgleichung).

Bei der Anwendung der FEM wird aus dieser Differentialgleichung durch die Diskretisierung ein algebraisches Gleichungssystem.

Bei einem zeitabhängigen Vorgang ist eine Diskretisierung des zeitlichen Verlaufes (also eine Berechnung in zeitlichen Schritten) und eine Integration notwendig. Für diese Integration kann eine implizite Lösung gewählt werden:

Implizite-Loesung-2.jpg


Das Grundprinzip der impliziten Lösung ist, dass die kontinuierliche Zeitfunktion schrittweise zu bestimmten Zeitpunkten berechnet wird. Bei der impliziten Lösung werden für den neuen Zeitschritt n+1 die neue Steifigkeitsmatrix und der neue Verschiebungsvektor zugrunde gelegt und die Lösung per Gleichgewichtsiteration bestimmt.

Implizite-Loesung-3.jpg


Man erhält das Ergebnis für den neuen Zeitpunkt n+1. Es liegt zu diesem Zeitpunkt eine Gleichgewichts-Lösung vor.

Vorteile und Nachteile

Vorteil der impliziten Lösung ist, dass bei der Simulation des Zeitverlaufes an jedem Zeitpunkt das Gleichgewicht berechnet wird. Die Zeitschrittweite kann groß gewählt werden.

Nachteil der impliziten Lösung ist, dass die Gesamt-Steifigkeitsmatrix Kn+1 für die Bedingungen des neuen Zeitschrittes n+1 invertiert werden muss. Bei Nichtlinearitäten können hierbei viele Iterationen notwendig werden. Die Rechenzeit je Zeitpunkt ist groß.

Der Berechnungsablauf der impliziten Lösung erfordert, dass jeder Zeitschritt Konvergenz erreichen muss. Bei stark nichtlinearem Verhalten kann die Zahl der erforderlichen Iterationen und damit der Berechnungsaufwand groß werden.

Eine übliche Methode der impliziten Lösung ist die Newmark-Methode.

Typische Eigenschaften

Typische Eigenschaften der impliziten Lösung sind

Es ist meistens sinnvoll, Elemente mit vollständiger Integration und aufwändigen Ansatzfunktionen zu verwenden.

Kontakte oder Nichtlinearitäten können die Konvergenz der Iterationsfolge beeinträchtigen. Oftmals sind durch Bisektionen kleinere Schrittweiten erforderlich. Auch die Vorgabe von angemessenen Grenzwerten für die Konvergenz durch den Anwender kann sinnvoll sein.

Typische Anwendungen

Typische Anwendungsgebiete der impliziten Lösung sind

Sonstige Begriffe

Die Alternative zur impliziten Lösung bei Zeitverlauf-Simulationen ist die explizite Lösung.

Persönliche Werkzeuge
Namensräume
Varianten
Aktionen
Navigation