Iterative Lösung

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engl: iteration, iterative solver          Kategorie: Level 3 Theorie

Der Begriff "iterative Lösung" kann verwirren:
Diese Seite hier betrifft die iterative Lösung eines Gleichungssystems (die mathematisch-numerische Aufgabenstellung). (Diese Seite betrifft NICHT die schrittweise Lösung eines nichtlinearen physikalischen Effektes mit einer Simulation durch Gleichgewichtsiterationen, zum Beispiel Plastizität).

Eine iterative Lösung (iterative solver) ist ein Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems der Art, wie sie bei FEM-Anwendungen vorliegt. Bei der iterativen Lösung wird zunächst ein Ergebnis angenommen, eingesetzt, geprüft und iterativ verbessert. Wenn die Prüfung befriedigend ausfällt, liegt das Ergebnis vor. Auch wenn oft 10..1000 Iterationen ausgeführt werden, jede Iteration für sich aber sehr schnell abläuft, ergibt dies geringe Rechenzeiten.

Iterative Lösungs-Verfahren erfordern relativ wenig Speicherplatz (RAM) und Plattenplatz. Der Vorteil der iterativen Lösungs-Verfahren besteht in der geringeren Rechenzeit für eine Iteration. Es ist möglich, abgestuft für eine schnelle Vorabuntersuchung mit weniger Aufwand ein weniger genaues Ergebnis zu bekommen. Manchmal kommt man dadurch mit sehr viel weniger Rechenzeit aus als die direkten Lösungsverfahren.

Insgesamt ist abzuwägen zwischen der Anzahl der Iterationen und der gewünschten Genauigkeit des Ergebnisses.

Es gibt Fälle, in denen die Eigenschaften des Modells die Anwendung eines iterativen Verfahrens verbieten, zum Beispiel wenn nahe an einen Beul- oder Stabilitätszustand herangerechnet wird. In solchen Fällen kann der Vorteil der schnellen Lösung dadurch aufgezehrt werden, dass viele Versuche (Iterationen) notwendig sind oder eventuell gar keine Lösung erreicht wird.

Verfahren der iterativen Lösung

• conjugate gradient

Ablauf der iterativen Lösung

Beim Ablauf der iterativen Lösung des typischen Gleichungssystems einer FEM-Anwendung

wird eine Anfangsnäherung für den Vektor der unbekannten Freiheitsgrade {uk(0)} definiert und mit einer Rechenvorschrift eine Folge von Näherungslösungen berechnet.

Aus dem Durchrechnen des Gleichungssystems mit der Anfangsnäherung ergibt sich ein Kraftvektor (die rechte Seite). Dieser Ergebnis-Vektor wird mit den aufgeprägten Kräften verglichen und aus der Abweichung (Residuum) eine neue Näherung für den Freiheitsgrad-Vektor aufgestellt. Damit wird das Gleichungssystem wieder ausgeführt.

Die Iterationsfolge wird abgebrochen, wenn die exakte Lösung genügend genau angenähert ist. Zur Beurteilung wird meist das Residuum verwendet

Als Konvergenzkriterium dient häufig die folgende Bedingung

Für die Rechenzeit ist sowohl die geschickte Wahl der Anfangsnäherung als auch die Genauigkeitsanforderung für die Konvergenz bedeutend. Die geschickte Wahl der Anfangsnäherung wird durch eine Vorkonditionierung (preconditioning) erreicht. Durch die Konvergenzgrenze kann eine schnelle (allerdings ungenaue) Lösung zur Abschätzung des Bauteilverhaltens erzielt werden. In unseriösen Darstellungen wird eine solche ungenaue, aber schnelle Berechnung mit groben Konvergenzgrenzen manchmal verwendet, um bestimmte FEM-Software hervorzuheben und als „das schnellste Programm” anzupreisen.

Die Berechnung der Näherungslösungen kann nach dem Jacobi-Verfahren erfolgen. Daneben sind noch das Gauß-Seidel-Verfahren und die Methode der konjugierten Gradienten, auch als CG-Verfahren” (conjugate gradients) bekannt, zu nennen. Diese verfeinerten Verfahren zeichnen sich durch bessere Konvergenz und geringere Rechenzeit aus.

Sonstige Begriffe

Die Alternative zu einer iterativen Lösung (iterative solver) ist eine direkte Lösung (direct solver).