FEM Handrechnung T11

Aus ESOCAETWIKIPLUS

FEM-Theorie mit einem einfachen Beispiel (Temperaturfeld)

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3. Anwendung der Finite-Elemente-Methode

3. Schritt: Lösung, Aufstellen des Gleichungssystems - Fortsetzung

Nun werden die Zahlenwerte unseres Beispiels verwendet und damit die Elementleitfähigkeits- bzw. -steifigkeitsmatrizen [K]e, die Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] und der Vektor {F} für unser Beispiel mit zwei Elementen aufgestellt.

Die Zahlenwerte, die für die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen in unserem Beispiel einzusetzen sind, sind

• für das Material λ = 40 W/(mK),
• für Element 1: L = 0.050 m, A = 40 * 10^-6 m²,
• für Element 2: L = 0.050 m, A = 20 * 10^-6 m².

Damit ergeben sich die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrizen zu Ke₁= 0,032, Ke₂=0,016, in Matrizenschreibweise

Man sieht, dass die Elementsteifigkeitsmatrix für ein solches Stab-Element mit zwei Knoten eine 2x2-Matrix ist. Bemerkenswert ist, dass die Zahlenwerte auf der Hauptdiagonalen positiv sind und dass die Matrix in Bezug auf die Hauptdiagonale symmetrisch ist.

Für die Bestimmung der Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] und den Vektor {Q} wird nochmal das Potenzial herangezogen. Das Potenzial für unser Beispiel mit zwei Elementen und einer Last am rechten Knoten kann geschrieben werden als

wobei mit Π_i1 das innere Potenzial von Element 1, mit Π_i2 das inneres Potenzial von Element 2 und mit Π_ak das äußere Potenzial der Knotenwärmeströme bezeichnet ist.

Mit den einzelnen Größen der Temperaturen u, Leitfähigkeiten bzw. Steifigkeiten K und Wärmeströme Q kann dies detaillierter geschrieben werden als

Zusammengefasst kann dies geschrieben werden als

Mit Zahlenwerten sieht dies so aus

Die Minimalforderung für Π führt auf

und damit auf das Gleichungssystem

Wie man sieht, setzt sich das Gleichungssystem aus den einzelnen Elementsteifigkeitsmatrizen zusammen, wobei die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrizen bestimmte Plätze im Gleichungssystem (der Gesamtsteifigkeitsmatrix) einnehmen. Bezeichnet man mit i die Zeile und mit j die Spalte, und ist i der linke Endknoten und j der rechte Endknoten, so wird der Koeffizient K_ij der Elementsteifigkeitsmatrix an die Schnittstelle von Zeile i und Spalte j der Gesamt-Steifigkeitsmatrix eingesetzt. Z. B. ist K₂₂ von Element 1 = 0,032 und K₂₂ von Element 2 = 0,016. Beide Werte bilden den Koeffizienten an der Position 2,2 der Gesamt-Steifigkeitsmatrix.

Grafisch dargestellt ist die Elementsteifigkeitsmatrix jedes Elementes (so wie hier zusammen mit den Temperaturen T und den Wärmeströmen bzw. Leistungen Q an den zugehörigen Knoten dargestellt)

im Gleichungssystem in der Gesamt-Steifigkeitsmatrix links wiederzufinden

Maßeinheiten

Was für Maßeinheiten sind für diese Zahlenwerte zutreffend? Hier sind nur Zahlenwerte genannt. Dies entspricht der Verarbeitung im Computer-Programm, bei der mit der Bit-Darstellung nur die Zahlenwerte vorhanden sind. Die Einheiten und damit die physikalische Bedeutung der Zahlen muss von uns als Anwender verwaltet und verfolgt werden. Manchmal wird dies von der Benutzer-Oberfläche des Programms übernommen, aber bei der numerischen Lösung werden die "nackten" Zahlen verarbeitet.

In dem zuletzt gezeigten Gleichungssystem sind die Zahlenwerte von {F} auf der rechten Seite als Wärmezufuhr oder -abfuhr zu verstehen, also Leistungen. Sie haben im SI- oder mks-System die Einheit [W].

Für die Temperaturen {T} auf der linken Seite des Gleichungssystems können wir hier im SI- oder mks-System die Einheit [°C] hinschreiben. genauso wäre [K] zutreffend, weil hier nur Temperaturdifferenzen eine Rolle spielen und in [°C] und [K] die Zahlenwerte der Differenzen gleich sind. Im technischen Alltag der Simulation von Temperaturfeldern ist erst dann die Verwendung von [K] wichtig, wenn Wärmestrahlung berücksichtigt wird.

Daraus kann man ableiten, dass die Zahlenwerte der Gesamt-Steifigkeitsmatrix [K] im SI- oder mks-System die Einheit [W/K] haben müssen. Dies ergibt sich aus der Wärmeleitfähigkeit (Einheit [W/(m K)]), der Länge ([m]) und der Querschnittsfläche ([m²]) des jeweiligen Elementes.

Wenn anstelle des SI- oder mks-Systems ein anderes Einheitensystem verwendet werden soll, ist auf die Konsistenz dieses Systems zu achten.

In diesem vorliegenden Beispiel haben wir seit Beginn der numerischen Berechnung uns entschlossen, das SI- oder mks-Systems zu verwenden. Wir könnten auch ein anderes Einheitensystem verwenden und müssten dann aber alle Einheiten konsequent.

Weitere Hinweise zu Maßeinheiten finden Sie hier.

Strukturmechanik

Die vergleichbare Seite des Beispiels der Strukturmechanik finden Sie hier.

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