Einheitensystem
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: system of units Kategorie: 
Level 1
Bei der Anwendung eines FEM-Programms muss auf die Einheiten
der physikalischen Größen geachtet werden. Innerhalb der
numerischen Verarbeitung der Daten besteht keine Festlegung
auf ein bestimmtes physikalisches Maß- oder Einheitensystem.
Damit die Eingabe- und Ausgabedaten "stimmen", müssen durch die
Analyse hindurch konsistente Einheiten eingehalten werden.
Damit sind die Einheiten, die für die Eingabe der Zahlenwerte
verwendet werden, auch in der Ausgabe durchgängig zutreffend.
Damit ist das FEM-Programm in zahlreichen Bereichen der Technik
und der Physik anwendbar. Entsprechend gibt es zahlreiche mögliche
und sinnvolle Kombinationen von Einheiten.
Für die Festlegung eines konsitstenten Einheitensystems sind grundlegende Festlegungen für Basis-Einheiten zu treffen. Die anderen Einheiten, die hiermit einen konsistenten Satz von Einheiten bilden, können daraus abgeleitet werden. Die grundlegenden Festlegungen werden im allgemeinen für die physikalischen Größen
- Kraft,
- Länge,
- Zeit,
- Masse und
- Arbeit, Energie
getroffen.
Inhaltsverzeichnis |
SI-Einheiten
Der Standard im europäischen Bereich ist das SI- oder auch mks-System. Der Zusammenhang für die Größen, angeführt in SI-Einheiten, ist durch folgende Beziehungen dargestellt
Mit diesen Beziehungen kann der FEM-Anwender jeden für die aktuelle Anwendung geeigneten Satz von Einheiten ableiten. Übliche oder im technischen Alltag angemessene und häufiger eingesetzte Einheitenkombinationen sind in der Tabelle aufgeführt, die hier rechts dargestellt ist.
Zusätzlich zu den Einheiten für die physikalischen Größen, die oben aufgelistet sind, werden hier als abgeleitete Größe die Einheiten für Druck oder entsprechend für mechanische Spannungen angegeben. Ebenso wird der Zahlenwert angegeben, der sich in dem jeweiligen System für die Dichte von Wasser bei Raumtemperatur ergibt.
Andere Einheitensysteme
Unter der Bezeichnung "SI" sind die standardisierten SI-Einheiten aufgeführt.
Bei "cgs" sind die in physikalischen Anwendungen üblichen Einheiten aufgelistet.
Die mit "fps (US)" bezeichneten Einheiten zeigen die im angelsächsischen Bereich noch üblichen Werte. Hierbei ist die Kraft in "poundal" (pdl) angegeben, die Länge in "foot" (ft), die Zeit in s, Massen in "pound" (lb) und Arbeit in der zusammengesetzten Einheit aus Kraft Länge, hier "pound foot" (lbf ft).
Mit der Bezeichnung "Var.1" ist eine Variante einer Kombination von Einheiten gezeigt, die für Berechnungen im Maschinenbau angemessen ist. Damit sind z.B. die Abmessungen der Bauteile in mm, der Elastizitätsmodul und mechanische Spannungen in (N/mm2) und Eigenfrequenzen in (Hz) bzw. (s-1) einzugeben oder abzulesen. Besondere Aufmerksamkeit ist hierbei jedoch bei der Eingabe von Masse- bzw. Dichtewerten erforderlich, die in (10**3kg) (also in Tonnen) bzw. in (10**3kg/mm**3) (also in Tonnen pro mm**3) vorzugeben sind. Sehen Sie dazu die Gleichung von oben an, die hier jetzt mit anderen Einträgen ergänzt wird:
Lesen Sie jeden Ausdruck als: "eine Kraft-Einheit ist gleich einer Masse-Einheit mal einer Längen-Einheit geteilt durch eine Zeit-zum-Quadrat-Einheit". Dann wird die Umstellung und die Verwendung in der numerischen Simulation verständlich.
Bei diesem Einheitensystem ergibt sich also der Zahlenwert, der als Dichte von Stahl in einer Berechnung mit dieser Kombination von Einheiten einzugeben ist, zu etwa DENS = 7.8e-9. Die Masseneinheit ist hierbei nicht mehr frei wählbar, da es den oben genannten Zusammenhang zwischen den Einheiten gibt. Wenn also die Entscheidung für die Längen- (mm), Kraft- (N) und Zeiteinheit (s) gefallen ist, ist die Masseneinheit nicht mehr frei wählbar, sondern es muss gezwungenermaßen (10**3kg) verwendet werden.
Beispiel
Für eine Wärmepumpe eines Hauses sollen Erdwärmesonden konzipiert werden. Dies sind Sonden mit Rohren, die 20..40m schräg in den Boden des Grundstückes gebohrt werden. Über diese Sonden wird im Winter die Wärme des Bodens entnommen. Im Sommer kann Wärme wieder rückgespeist werden.
Der Wärmeaustausch erfolgt über Wochen und Monate hinweg. Daher ist eine Simulation mit dem SI-Einheitensystem mit Sekunde [s] als Zeiteinheit ungünstig. Es wird mit einem Einheitensystem mit Stunden [h] als Zeiteinheit gerechnet. Die Einheiten sind also
- anstelle des SI-Systems Kraft in [N] , Länge in [m] , Zeit in [s] , Masse in [kg] , Energie in [J] , daraus abgeleitet Leistung in [W]=[J/s],
- das System Kraft in [12,96*106N] , Länge in [m] , Zeit in [h] , Masse in [kg] , Energie in [3,6*103J] , daraus abgeleitet Leistung in [3,6*103J/h].
Ein Vergleich zeigt, dass
- im SI-Einheitensystem ein Material mit den Materialdaten Wärmeleitfähigkeit λ = 10[W/(m K)], Dichte ρ = 1500[kg/m3], Wärmekapazität c = 100[J/(kg K)] in 3600[s] durch eine Wärmezufuhr von hgen = 1[W/m³] auf 0,024°C aufgeheizt wird,
- im geänderten Einheitensystem ein Material mit den Materialdaten Wärmeleitfähigkeit λ = 10[3,6*103J/(h m K)], Dichte ρ = 1500[kg/m3], Wärmekapazität c = 0,02778[3,6*103J/(kg K)] in 1[h] durch eine Wärmezufuhr von hgen = 1[3,6*103J/(h m3)] ebenso auf 0,024°C aufgeheizt wird.
Tips und Tricks
Ein Simulationsprogramm arbeitet im Kern - also bei der numerischen Lösung - ohne Dimensionen der Zahlenwerte (wie ein Taschenrechner). Dies setzt voraus, dass die Größen, die diese Zahlenwerte repräsentieren, in einem konsistenten Einheitensystem definiert sind.
Es ist Sache des Anwenders, hierfür die richtigen Voraussetzungen zu schaffen.
Oft übernimmt das Simulationsprogramm diese Verwaltung. Dann wird an der Schnittstelle zwischen dem Anwender und der Software jeweils die Einheit genannt und Zahlenwerte mit Einheiten behaftet ein- und ausgegeben.
Der Anwender sollte trotzdem die Einheiten kontrollieren und mögliche Grenzfälle und Fehlermöglichkeiten abdecken.
Fehler bei der Verwendung der Einheiten zeigen sich meistens dadurch, dass das Ergebnis um mehrere Größenordnungen von dem erwarteten Ergebnis abweicht. Insbesondere wenn Abweichungen etwa um den Faktor 103 auftreten, deutet dies auf die Einheiten hin. Bei einer Modalanalyse ist auch ein Faktor von etwa 30 typisch hierfür, weil Masse und Steifigkeit "unter der Wurzel" stehen und dadurch √103 einwirkt.
