Numerische Stabilität
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: numerical stability Kategorie: 
Level 2 Theorie Mechanik
Allgemeine Hinweise finden Sie bei wikipedia:Stabilität_(Numerik).
Inhaltsverzeichnis |
Simulation
In der Simulation wird ein Diskretisierungsverfahren numerisch stabil genannt, wenn bei der Lösung die Fortpflanzung des lokalen Fehlers innerhalb des Rechengebietes zu keiner Divergenz der globalen Losung führt.
Grundlagen
In Abhängigkeit vom gewählten Diskretisierungsverfahren (in Raum und Zeit) enthält die berechnete Lösung
- an einer bestimmten Stützstelle (räumliche Diskretisierung)
- zu einem bestimmten Zeitschritt (zeitliche Diskretisierung)
die Werte der vorangegangenen Stützstellen und ggf. der vorangegangenen Zeitschritte und damit auch die entsprechenden Abweichungen von der exakten Lösung. Dies führt im Laufe der Berechnung zu einer räumlichen und zeitlichen Aufsummierung der lokalen Fehler.
Diese Aufsummierung kann zu einer Divergenz bzw. zum Abbruch der Berechnung führen, wenn sehr große (gegen unendlich strebende) oder sehr kleine (gegen Null strebende) Zahlen entstehen. Um dies zu verhindern, müssen bestimmte Bedingungen beachtet werden, die i.A. von dem jeweils angewendeten Verfahren abhängen.
Stabilität der räumlichen Diskretisierung
Die räumliche Diskretisierung ist in der Finite-Elemente-Methode die Aufteilung des Bauteils in Elemente.
Die Lösung für dieses Elemente-Netz ist aufgrund der Eigenschaften der FEM unbedingt stabil (unconditionally stable). Dies gilt unabhängig davon, welche Elementgrößen oder Netzteilungen gewählt werden. Dies ist eine der wesentlichen Voraussetzungen für die Praxistauglichkeit FEM im technischen Alltag.
Stabilität der zeitlichen Diskretisierung
Die zeitliche Diskretisierung ist die Aufteilung des zeitlichen Ablaufes einer dynamischen Simulation in Zeitschritte. Fragen der Stabilität hierbei betreffen im wesentlichen dynamische FEM-Anwendungen der Strukturmechanik.
Wenn der zeitliche Ablauf einer solchen dynamischen FEM-Anwendung mit einer impliziten Lösung berechnet wird und ein Zeit-Integrationsverfahren wie Newmark (Newmark-beta) oder Wilson (Wilson-theta) verwendet wird, dann ist die Lösung unbedingt stabil (unconditionally stable).
Wenn der zeitliche Ablauf der dynamischen FEM-Anwendung mit einer expliziten Lösung berechnet wird und ein Zeit-Integrationsverfahren wie das Zentral-Differenzen- oder ein Euler-Rückwärtsschritt-Verfahren verwendet wird, muss die Zeitschritt- sehr gering gehalten werden, damit zumindest eine bedingte, auf die jeweilige Modellgröße abgestimmte, Fehlerschranke nicht überschritten wird (Courant-Kriterium).
Tips und Tricks
Auch wenn eine dynamische FEM-Anwendung mit einer impliziten Lösung als unbedingt stabil bezeichnet werden kann, sollte man nicht "einfach drauflos" rechnen. Gerade bei Nichtlinearitäten und Plastizität oder Kontakt wird oftmals nur dann Konvergenz erreicht, wenn die Zeitschrittweite bzw. die Schrittweite der Lastaufbringung angemessen gering ist. Andernfalls
- können Berührungen von Kontakten übersprungen werden oder
- Divergenz beim Materialverhalten oder
- hohe Rechenzeiten durch Iterationsfolgen oder
- Divergenz der Ergebnisse und Abbruch der Lösung
auftreten.
