Hill-Anisotropie Beispiel
Aus ESOCAETWIKIPLUS
Kategorie: 
Level 4 Mechanik Material
Das hier vorgestellte Beispiel betrifft
Diese Begriffe sind für die Strukturmechanik zutreffend.
Das Beispiel
Für das Beispiel wird ein Quader-förmiges Bauteil mit gleichen Kantenlängen (jeweils 10 mm) zugrunde gelegt. Es stellt einen würfelförmigen Probekörper dar. Dieser Würfel wird mit mechanischen Eigenschaften ausgestattet. Er wird dann jeweils in einer Raumrichtung - jeweils parallel zu einer Kante - gestreckt. Das Ziel der Simulation sind die Spannungen und Reaktionskräfte im Würfel.
Für dieses Bauteil wird ein Finite-Elemente-Modell mit Volumen-Elementen erstellt. Bei dieser Prinzip-Untersuchung ist es ausreichend, den gesamten Quader mit einem einzigen Element zu vernetzen. Die Abbildung rechts zeigt dieses Modell mit dem Quader-förmigen Element. Das Element hat 8 Knoten an den Ecken.
Das Material des Bauteils ist ein Stahl mit vereinfachten Eigenschaften. Dieses Material verhält sich zunächst linear. Hierfür sind als Materialdaten ein Elastizitätsmodul von E = 210000 [MPa] und eine Querkontraktion von ν = 0.3 gegeben. Es soll aber zusätzlich eine Materialnichtlinearität berücksichtigt werden. Wenn die Vergleichsspannung die Streckgrenze von σy = 210 [MPa] überschreitet, soll ein Tangentenmodul von ET = 0 [MPa] und kinematische Verfestigung zugrunde gelegt werden. Ein solches Verhalten wird auch als ideal-plastisch bezeichnet. Die Spannungs-Dehnungs-Kurve (also die Funktion der Vergleichsspannung in Abhängigkeit von der Vergleichsdehnung), die dieses Verhalten darstellt, ist hier links dargestellt. Es ist vom Ursprung aus ein linearer Anstieg (die Steigung repräsentiert den Elastizitätsmodul), bei der Streckgrenze knickt die Kurve ab und verläuft weiter horizontal. Diese Funktion nennt man auch bilinear-ideal-plastisch.
Die Randbedingungen sind hier in der Abbildung rechts eingezeichnet. An der Oberfläche bei x = 0 sind alle Verschiebungen der Knoten (Freiheitsgrade) in x-Richtung festgehalten. Entsprechend sind auch diejenigen bei y = 0 in y-Richtung und die bei z = 0 in z-Richtung festgehalten. Der Quader kann damit nicht aus der Ecke am Ursprung des Koordinatensystems heraus. Diese Randbedingungen ergeben jeweils eine glatte flächige Festhaltung.
Als Last wird jeweils in einer der Raumrichtungen eine Streckung aufgebracht. Hier in der Abbildung rechts ist diese Anordnung für den Fall der x-Richtung gezeigt. An der nach rechts zeigenden Oberfläche ist die vorgesehene Streckung skizziert. Dazu wird den Knoten des Modells an dieser Position x = 10 eine Verschiebung in x-Richtung vorgeschrieben. Damit wird der Quader langgezogen, weil die Gegenseite bei x = 0 in x-Richtung festgehalten ist (also eine Verschiebung von Null erzwungen ist). Dies ist eine weggesteuerte Belastung.
Die Belastung, die vorher prinzipiell für die x-Richtung vorgestellt wurde, wird entsprechend auch für die anderen Raumrichtungen vorgesehen. Hier rechts in der Abbildung "vorgegebene Verschiebung" sind diese 3 Fälle skizziert:
- die Streckung in x-Richtung (nach rechts),
- die Streckung in y-Richtung (nach oben) und
- die Streckung in z-Richtung (nach links).
Diese Streckung ergibt im Modell jeweils eine Spannung in der Richtung der Streckung. Und an den Festhaltungen werden Auflager-Reaktionskräfte berechnet.
Die Ergebnisse rechts in der Abbildung "isotropes Verhalten" zeigen den Fall des isotropen Materials. Von links nach rechts sind jeweils die Raumrichtungen x, y, z dargestellt. Bei der Streckung in x-Richtung wird der Quader in x-Richtung langgezogen. Es wird eine Spannung von σ = 210 [MPa] angegeben. Dies ist die Vergleichsspannung, die bei den oben genannten Materialdaten den Grenzwert darstellt, der auftreten kann. Als Reaktionskraft an einem der 4 Eckknoten wird F = 5250 [N] berechnet. Dies korrespondiert zu der genannten Spannung (4 Knoten, Fläche 10 * 10 mm).
Für die y-Richtung und für die z-Richtung ergeben sich die gleichen Werte.
Das Material des Bauteils zeigt isotropes plastisches Verhalten.
Zum Vergleich mit dem isotropen Verhalten sind hier in der Abbildung "Hill-Anisotropie" die Ergebnisse mit Hill-Anisotropie gezeigt. Die maßgebenden Materialdaten für 3-dimensionale Anwendungen in der Strukturmechanik sind die Faktoren Rxx, Ryy, Rzz, Rxy, Ryz, Rxz. Diese Faktoren stellen die Verbindung der Plastizität in den jeweiligen Raumrichtungen bzw. zu den jeweiligen Dehnungs- und Spannungskomponenten her. Hier in diesem Beispiel wurden die Werte
- Rxx = 1.0,
- Ryy = 1.1,
- Rzz = 0.9,
- Rxy = 0.85,
- Ryz = 0.9,
- Rxz = 0.80
eingesetzt.
Die Ergebnisse rechts in der Abbildung "Hill-Anisotropie" zeigen bei der Streckung in x-Richtung eine Spannung von σ = 210 [MPa] und eine Reaktionskraft an einem der 4 Eckknoten von F = 5250 [N]. Aufgrund des Wertes Rxx = 1.0 ist dies direkt mit der isotropen Variante vergleichbar.
Bei der Streckung in y-Richtung wird eine Spannung von σ = 231 [MPa] und eine Reaktionskraft an einem der 4 Eckknoten von F = 5775 [N] berechnet. Dies kann über den Wert Ryy = 1.1 mit der isotropen Variante verglichen werden.
In z-Richtung kann die Spannung von σ = 189 [MPa] und die Reaktionskraft an einem der 4 Eckknoten von F = 4725 [N] über den Wert Rzz = 0.9 mit der isotropen Variante verglichen werden.
Was ist das Wesentliche hieran?
Mit den Werten Rxx,Ryy,Rzz,Rxy,Ryz,Rxz kann eine Richtungsabhängigkeit der mechanischen Eigenschaften des Materials simuliert werden.
