Lösung

Aus ESOCAETWIKIPLUS

Version vom 13. Juli 2011, 14:13 Uhr

engl: solution          Kategorie: Level 1 Theorie

Viele Simulationen - wie zum Beispiel diejenigen mit der Finite-Element-Methode (FEM) - erfordern

• eine Vorbereitung durch den Anwender (Dateneingabe),
• dann eine Bearbeitung der numerischen Aufgabe durch ein Rechnerprogramm und schließlich
• eine Auswertung durch den Anwender.

Die Bearbeitung der numerischen Aufgabe durch ein Rechnerprogramm wird als Lösung bezeichnet. Das ist die ganz allgemeine Bedeutung von "Lösung".

Speziell bei Anwendungen der Finite-Element-Methode (FEM) wird der Begriff "Lösung" für einen wesentlichen Schritt der numerischen Abarbeitung verwendet. Bei der Anwendung der FEM geht es um Aufgaben, denen ein System von Differentialgleichungen zugrundeliegt.

Nach der Idealisierung wird durch die Diskretisierung aus dem System von Differentialgleichungen ein System von Differenzengleichungen. Dies kann für eine statische Simulation der Strukturmechanik in Matrizenschreibweise dargestellt werden als

Mit Begriffen aus der Strukturmechanik können die Terme dieser Gleichung beschrieben werden als die Gesamt-Steifigkeitsmatrix K, den Verschiebungsvektor u (unter Berücksichtigung der Randbedingungen) und den Last- oder Kraftvektor F. Die unbekannten Größen der Aufgabenstellung sind die Werte des Verschiebungsvektors u. Sie werden Freiheitsgrade genannt.

Dieses System von Differenzengleichungen wird numerisch gelöst. In der Darstellung der Matrizenschreibweise wird dazu dieses System umgestellt und hier dargestellt als

Mit Begriffen aus der Strukturmechanik können die Terme dieser Gleichung beschrieben werden als Verschiebungsvektor u, der berechnet wird aus der Inversen der Steifigkeitsmatrix K und dem Last- oder Kraftvektor F.

Die numerische Berechnung der Inversen der Steifigkeitsmatrix K erfordert nennenswerten Rechneraufwand.

Die numerische Berechnung der Inversen der Steifigkeitsmatrix K, die Bestimmung des Verschiebungsvektors u und anschließend die Berechnung weiterer daraus resultierender Ergebniswerte durch Rückrechnung wird bei Anwendungen der FEM als "Lösung" bezeichnet.

Fehler bei der Lösung

Bei der Ausführung der Lösung können Fehler auftreten und festgestellt werden, die das Ergebnis beeinflussen oder gar zum Abbruch der Lösung führen.

Eine solche Möglichkeit ist durch das Steifigkeitsverhältnis der Zahlenwerte auf der Hauptdiagonalen der Gesamt-Steifigkeitsmatrix gegeben. Dieses Verhältnis beeinflusst die Ergebnisgenauigkeit.

Die Durchführung der Lösung kann in folgenden Fällen gefährdet sein:

• bei unzureichenden Festhaltungen (Starrkörper-Verhalten),
• bei Modellen mit nichtlinearen Elementen (wie Kontakt-, Gleit-, Gelenk- oder Seilelementen u.a.) kann ein Teil des Modells zusammengebrochen sein oder losgelöst sein,
• negative Zahlenwerte von Materialdaten, z.B. Dichte oder spezifische Wärmekapazität in einer Temperaturfeldberechnung,
• nicht ausreichend festgehaltene Verbindungen (z.B. haben zwei horizontal angeordnete Stabelemente eine Quer- bzw. Vertikalverschieblichkeit am Verbindungspunkt. Auch wenn in dieser Richtung keine Last wirkt, hat dieser Freiheitsgrad eine Auswirkung auf das Gleichungssystem.),
• Knicken, Beulen (wenn Spannungssteifigkeitseffekte negativ werden, wird die Struktur unter Last weicher. Wenn dieser Effekt die Steifigkeit zu Null oder negativ werden lässt, liegt eine Instabilität vor, die Struktur beult oder knickt. Eine Meldung wie “NEGATIVE MAIN DIAGONAL VALUE” wird ausgegeben.)

Zusammenhang

Nach der

• der Idealisierung und
• der Diskretisierung erfolgt
• die Lösung.

Die Lösung ist die Voraussetzung für die weiteren Schritte der Simulation:

• die Auswertung und
• die Bewertung.

Selbststudium

Einfaches Beispiel der Strukturmechanik

Für ein einfaches Beispiel der Strukturmechanik wird hier die Lösung der Aufgabenstellung mit Zahlenwerten gezeigt (7 Seiten, 60 min).