FEM Handrechnung 1 5
Aus ESOCAETWIKIPLUS
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A..
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E..
Z..
NL..
T..
2.3 Analytische Lösung: Lösung der Differentialgleichung
Hier ist die Differentialgleichung sehr einfach. Es kann deshalb leicht eine analytische Lösung für u(x) durch Integration der Differentialgleichung gewonnen werden.
Für unser Beispiel ergibt sich:
mit
Mit den Zahlenwerten von unserem Beispiel hier kann dies geschrieben werden als:
Die maximale Verschiebung am Stabende errechnet sich zu:
Der Verlauf der Verschiebung ist hier in dem nebenstehenden Diagramm dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die Verschiebung am linken Ende festgehalten ist und Null beträgt. Im anschließenden dicken Bereich nehmen die Verschiebungen zunächst nur langsam zu. Je schmaler der Querschnitt wird, umso stärker wachsen die Verschiebungen an. Die Kraft am rechten Ende wirkt in gleicher Höhe an jeder Position der Stablänge (das entspricht der Gleichgewichtsbedingung, die bei der Aufstellung der Differentialgleichung verwendet wurde) und streckt den Stab links zunächst wenig, rechts im dünnen Bereich aber mehr.
Aus der nun bekannten Verschiebungsfunktion u(x) können alle weiteren gewünschten Größen, wie z.B. Dehnungen oder Spannungen gewonnen werden. In diesem speziellen, statisch bestimmten Fall ist der Spannungsverlauf bereits aus der Statik bekannt, muss also nicht über die Lösung der Differentialgleichung bestimmt werden.
Für den Dehnungsverlauf ergibt sich zu:
Daraus folgt der Spannungsverlauf zu:
Die Spannungen an den Enden des Bauteils ergeben sich zu
Der Spannungsverlauf in dem nebenstehenden Diagramm ist noch stärker gekrümmt als derjenige der Verschiebungen vorher. Aufgrund der Verjüngung der Struktur zeigt die Spannung einen starken Anstieg am Stabende. Mathematisch gesehen ist der Spannungsverlauf hier proportional zur Dehnung und damit zur 1. Ableitung des Verschiebungsverlaufes.
Was ist das Wesentliche hierbei?
Die Differentialgleichung wurde für dieses einfache Beispiel "schnell" aufgestellt und gelöst. Sie lieferte den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Aufgabenstellung (Geometrie, Randbedingungen, Lasten) und der Verschiebung, Dehnung und Spannung an jeder Position entlang des Stabes.
Im technischen Alltag geht es aber um Bauteile wie
- den Turm einer Windkraftanlage,
- die Karosserie eines PKW oder
- die Flügel einer künstlichen Herzklappe.
Solche Bauteile mit den Randbedingungen und Lasten sind so komplex, dass
- eine Differentialgleichung eine derartige Vereinfachung vorher bei der Idealisierung erfordern würde, dass das Ergebnis nicht mehr brauchbar ist oder
- die Gleichung nicht mehr lösbar ist.
