Modalanalyse

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Version vom 15. September 2011, 12:28 Uhr

engl: modal analysis          Kategorie: Level 2 Theorie Mechanik

Eine Modalanalyse wird zur Bestimmung der Eigenfrequenzen (Eigenwerte) und der Eigenschwingungsformen bei einer dynamischen Simulation einer Struktur verwendet. Die Modalanalyse wird auch Eigenwertanalyse oder Eigenwertproblem genannt.

Die Ergebnisse der Modalanalyse, die Eigenwerte, Eigenfrequenzen und Eigenformen, sind wichtige Parameter für die Auslegung einer Struktur bezüglich dynamischer Belastungen. Sie werden außerdem benötigt, wenn anschließend eine Spektrumanalyse oder auch eine Frequenzganganalyse oder transiente dynamische Simulation mit Hilfe der modalen Superposition (Überlagerung der Eigenschwingungsformen) durchgeführt werden soll.

Als Ergebnis werden meistens auch für die gefundenen Eigenfrequenzen die Beteiligungsfaktoren (participation factors) ausgegeben. Dies erleichtert die Bewertung des jeweiligen Eigenwertes bzw. der zugehörigen Eigenform hinsichtlich der Bedeutung für die Dynamik des Bauteils.

Die Modalanlyse ist eine lineare Analyse. Jegliche Nichtlinearitäten wie Plastizität und Kontaktelemente bleiben unberücksichtigt, auch wenn sie in der Praxis vorhanden sind.

In Koordinatenrichtungen, in denen keine Bindungen definiert sind, werden Starrkörperformen (Rigid Body Modes, Zero Frequency Modes), aber auch Eigenschwingungsformen höherer Ordnung des elastischen Körpers (Higher Free Body Modes, Frequenz ungleich Null) berechnet.

Grundlagen

In der FEM ergibt sich die Bewegungsgleichung nach der Diskretisierung zu folgender Matrizengleichung

mit

• [M] Massenmatrix
• {ü} Beschleunigungsvektor
• [C] Dämpfungsmatrix
• {ů} Geschwindigkeitsvektor
• [K] Steifigkeitsmatrix
• {u} Verschiebungsvektor
• {F} Kraft-, Lastvektor

Da die Lastfunktionen oft nicht genau bekannt sind und auch die Vorgabe von Dämpfungswerten schwierig ist, werden sehr häufig anstelle transienter Berechnungen nur Eigenfrequenzberechnungen durchgeführt. Ziel ist es dann, eine Struktur so abzustimmen, dass ihre Eigenfrequenzen nicht mit den Lastfrequenzen zusammenfallen und so dynamische Einflüsse reduziert oder gar ausgeschaltet werden.

Die Eigenfrequenzen ergeben sich aus der Lösung der Gleichung

Die Modalanalyse ist die Lösung dieses algebraischen Eigenwertproblems.

Mit dieser Gleichung können die Eigenfrequenzen und auch die Eigenformen ermittelt werden. Die Eigenfrequenzen sind System- bzw. Bauteilkennwerte, also für dieses Bauteil charakteristische Frequenzen. Zu jeder dieser Eigenfrequenzen gibt es eine zugehörige Eigenform. Diese Eigenform ist diejenige Verformung, die das Bauteil bei der Schwingung mit dieser Frequenz zeigen würde. Der Ausdruck „...zeigen würde“ soll verdeutlichen, dass erst dann auch wirklich eine Schwingung und Verformung auftritt, wenn eine Anregung vorliegt. Abhängig von dieser Anregung ergibt sich dann eine Gesamtschwingung des Bauteils, die sich im wesentlichen aus den einzelnen Schwingungsformen zusammensetzt. Man erhält durch die Eigenfrequenzen und Eigenformen also einen Hinweis, wie sich ein System bei dynamischer Belastung verhält. Die Amplituden der Eigenformen sind NICHT für eine technische quantitative Auswertung des Bauteils geeignet (sie werden bei der Lösung geeignet skaliert), nur die Form ist für eine qualitative Beurteilung der Dynamik des Bauteils geeignet.

Simulation

Bei der Simulation kann man aus mehreren Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Eigenschwingungsformen wählen:

• Householder-Methode (reduced),
• Unterraummethode (subspace),
• Verfahren für unsymmetrische Matrizen (unsymmetric) oder für gedämpfte Systeme (damped) und
• Block-Lanczos-Methode.

Eine nützliche Hilfe bei der Idealisierung ist die zyklische Symmetrie, bei der die Analyse einer zyklisch symmetrischen Struktur nur anhand eines Sektors durchgeführt werden muss.

Die einzigen "Lasten", die in einer Modalanalyse definiert werden können, sind Festlegungen von Verschiebungen auf den Wert Null. Verschiebungen mit vorgegebenen Werten ungleich Null werden zu Null gesetzt. Andere Lasten können eingegeben werden, bleiben aber unberücksichtigt.

Modalanalysen können auch an vorgespannten Strukturen, wie z.B. einer rotierenden Turbinenschaufel, durchgeführt werden. In diesem Fall wird zunächst eine statische Simulation durchgeführt. Diese liefert die numerischen Werte, die die Vorspannung darstellen (Spannungsmatrix). Darauf baut die Modalanalyse der vorgespannten Struktur auf. Die Eigenwerte sind damit abhängig von der Massen-, der Steifigkeits- und der Spannungs-Matrix.

Tips und Tricks

Modelle, bei denen Starrkörper-Moden auftreten, liefern im Ergebnis Eigenfrequenzen von Null (bzw. wegen der Näherungen bei der Anwendung der Lösungsverfahren Werte nahe Null).

Bei der Erstellung von Simulationsmodellen - insbesondere wenn CAD-Daten zugrunde liegen - müssen alle separaten Teile des Bauteils miteinander in Verbindung gebracht werden (zum Beispiel über Kontakt-Bedingungen) oder statisch ausreichende Festhaltungen. Um dies zu prüfen, kann eine Modalanalyse durchgeführt werden. Teile des Modells, die nicht ausreichend gehalten sind, liefern dabei Null-Eigenwerte/-Eigenfrequenzen.

Sonstige Begriffe

Eine begleitende Modalanalyse kann als Lösungs-Unterstützung bei Beulanalysen eingesetzt werden. Die begleitende Modalanalyse verwendet die Eigenschaft, dass bei einem Stabilitätsfall (also beim Enstehen einer Beule) in der Strukturmechanik der Eigenwert der aktuellen Matrizenwerte den Wert Null erreicht. Diese Vorgehensweise ist eine Beispiel für eine Perturbation.

Bei der Anwendung einer Modalanalyse im Rahmen einer Optimierung muss auf die Zuordnung der Eigenwerte und Eigenformen durch Modal tracking geachtet werden.

Weiterführende Informationen

Ein weiterführendes Seminar speziell hierzu finden Sie bei
Modalbasierte lineare Dynamik - Modalanalyse, Frequenzganganalyse, Antwortspektrumanalyse