Grundidee der FEM 5

Aus ESOCAETWIKIPLUS

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Beispiel Biegebalken: Lösung nach der Finite-Elemente-Methode

Hier wird ein Ansatz über Abschnitte des Balkens (Elemente endlicher Länge) verwendet. Der Ansatz für jeden Abschnitt (Element) mit den Enden (Knoten) i und i+1 wird gewählt zu

mit
u_yi, Φ_zi: unbekannte Knotenverschiebungsgrößen (hier pro Knoten 2 Unbekannte)
N1(x), N2(x), N3(x), N4(x): Formfunktionen, die für ein Element L_E gelten, einfache Polynome (x, x2..)

Die Formfunktionen für die Verformungen im Element sind einfache Polynomfunktionen. Die Koeffizienten sind Verschiebungsgrößen an den Knoten des jeweiligen Elementes. In diesem Beispiel sind es 2 Unbekannte an jedem der beiden Endknoten eines Elementes, die Verschiebung u_y quer zum Balken und die Verdrehung Φ_z.

Diese Formfunktionen sind für das mittlere Element im einzelnen in ihrem Verlauf aufgezeichnet. Formfunktion N1(x) wird mit der Verschiebung u_yi (am linken Endknoten) und Formfunktion N2(x) mit der Verschiebung u_yi+1 (am rechten Endknoten) verwendet. Formfunktion N3(x) wird mit der Verdrehung Φ_yi und Formfunktion N4(x) mit der Verdrehung Φ_yi+1 verwendet.

Für die anderen Teilgebiete (Elemente) werden ebenfalls diese Funktionen verwendet. Dabei treffen jedoch jeweils die anderen Verschiebungen und Verdrehungen zu, die an den jeweiligen Endknoten des Elementes vorliegen.

Auch bei dem Finite-Element-Ansatz erfolgt die Lösung dadurch, dass das Minimum der potentiellen Energie berechnet wird. Die potentielle Energie des Gesamtsystems ergibt sich aus der Summe der Energien jedes Elementes. Die potentielle Energie ergibt sich zu

Dabei werden hier die unbekannten Knotenverschiebungen u_yi und Knotenverdrehungen Φ_zi in dem Knotenverschiebungsvektor {u} zusammengefasst. Die Forderung des Minimums der potentiellen Energie führt auf

Dies ergibt ein algebraisches Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten u_i (hier die Knotenverschiebungen u_yi und Knotenverdrehungen Φ_zi). In der Matrizenschreibweise lässt sich dieses Gleichungssystem schreiben als

Dies kann zusammengefasst werden zu

Die Auflösung liefert die unbekannten Knotenverschiebungen

Die Koeffizienten u_yi bzw. Φ_zi sind bei dieser Vorgehensweise physikalisch und technisch deutbare Größen. Denn es sind Verschiebungen oder Verdrehungen des Modells an der Position dieses Knotens. Eine erste Auswertung des Berechnungsergebnisses anhand dieser Verschiebungen und Verdrehungen ist sehr gut möglich. Mit diesen Größen sind im Element die Verschiebungen über u_ye und durch Ableitung auch die Spannungen bestimmbar. Wenn der Brückenträger zu beurteilen ist, sagt ein Ergebnis von zum Beispiel "u₂ = 0.1445" (Verschiebung an der Position mit der Nummer 2 beträgt 0.1445 mm) direkt sehr viel aus für den Ingenieur, der die Berechnung durchführt.