Grundidee der FEM 4
Aus ESOCAETWIKIPLUS
Beispiel Biegebalken: mögliche numerische Lösung
Nehmen wir eine Ansatzfunktion über das Gesamtgebiet des
Berechnungsmodells. Diese Funktion setzen wir als Summe
aus den Anteilen 
zusammen zu
n ... Anzahl Terme, Produkte
ai ... Koeffizienten
fi(x).. Funktionsterme, die für das Gesamtgebiet LGES gelten,
z. B. Polynome (x, x2, x3, ..., x6), Reihenglieder (sin, cos, sinh, ...)
Hier wird zum Beispiel ein Polynomansatz verwendet:
Jeder Anteil der Ansatzfunktion gilt für das gesamte Berechnungsgebiet und damit für die Gesamtlänge des Balkens. Die einzelnen Anteile sind hier qualitativ dargestellt. Die Summe der Anteile ergibt näherungsweise d ie Lösungsfunktion. Wenn mehr Anteile in die Ansatzfunktion aufgenommen werden, kann die Lösungsfunktion noch genauer erfüllt werden.
Die Ermittlung der Koeffizienten erfolgt über das Minimum der potentiellen Energie. Die potentielle Energie ergibt sich mit der Ansatzfunktion zu
Die Forderung nach dem Minimum der potentiellen Energie führt auf:
Daraus ergibt sich ein algebraisches Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ai. In der Matrizenschreibweise können in diesem Gleichungssystem die Koeffizienten als Vektor {ai} zusammengefasst werden:
Dies kann in Kurzform geschrieben werden:
Aus der Lösung des Gleichungssystems ergibt sich {ai}:
Die Zahlenwerte in der Matrix [K] sowie in dem Vektor {F} ergeben sich aus den Funktionstermen sowie aus den Randbedingungen, die die äußeren Einwirkungen auf das Berechnungsmodell darstellen.
Die Koeffizienten ai sind hier algebraische Zahlenwerte, die keinen direkten Bezug zu den physikalischen und technischen Größen des Balkens haben, der hier berechnet wird. Wenn der Brückenträger zu beurteilen ist, erkennt der Ingenieur aus einem Ergebnis am Ende der Berechnung von zum Beispiel "a2 = 0.1445" zunächst sehr wenig. Erst nach aufwendigen Rückrechnungen ergibt sich hieraus der Verlauf der Verformungen und der Spannungen.
Der Vergleich der resultierenden Ansatzfunktion, die aus den hier gewählten Termen zusammengesetzt ist, mit der theoretischen Lösung zeigt, dass insbesondere der Knickpunkt des Verformungsverlaufes der theoretischen Lösung am rechten Auflager durch die Ansatzterme nicht abgebildet werden kann. Auch weitere Polynom-Terme höheren Grades können diesen Verlauf der Ansatzfunktion nicht repräsentieren. Dabei sind Verläufe wie der hier dargestellte nicht selten: jede Querschnitts- oder Materialgrenze ergibt einen solchen Knickpunkt der Verformungsfunktion. Und immer würde in solchen Fällen die Vorgehensweise mit der Ansatzfunktion über das Gesamtgebiet diesen Verlauf nicht abbilden können.
