Grundidee der FEM 1

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Zusammenfassung

Hier finden Sie eine Folge von 6 Seiten. Zum Selbststudium sehen Sie 30 bis 60 Minuten vor.

Grundlage von Simulationen sind Differentialgleichungen. Wie kann man diese lösen? Nur in den seltensten Fällen gibt es geschlossene Lösungen. In der Praxis ist man auf eine numerische Näherungslösung angewiesen. Für einen Biegebalken sehen Sie, wie die FEM durch Aufteilung in kleine Elemente diese Lösung erreicht. Das Prinzip wird erkennbar.

Das Beispiel ist für alle physikalischen Disziplinen verständlich. Vorkenntnisse sind nicht erforderlich.

Allgemeine Vorgehensweise bei der rechnerischen Simulation

Bei der rechnerischen Simulation geht man von Differentialgleichungen aus. Die Differentialgleichungen beschreiben an einem differentiell kleinen Teil das Verhalten einer Struktur. Die Differentialgleichungen der Elastizitätstheorie von Lamé zeigen zum Beispiel das Verhalten eines Festkörpers (Solids) unter einer Beanspruchung. Die Differentialgleichungen von Navier-Stokes geben uns Einblick in das Verhalten eines Fluids und die Maxwell Gleichungen sind eine mathematische Formulierung für Magnetfelder. Für Geometrien die in einer oder zwei Dimensionen besonders ausgeprägt sind, können die dreidimensionalen Differentialgleichungen mit vertretbarem Genauigkeitsverlust vereinfacht werden.

Die Funktion, für die die Differentialgleichung aufgestellt wird, ist eine charakteristische Größe. Für Festigkeitsprobleme ist dies die Verschiebung, bei Temperaturfeldberechnungen ist es die Temperatur und bei Magnetfeldberechnungen das magnetische Potential. Primäres Ziel der rechnerischen Simulation ist es, diese Funktionen, z. B. die Verschiebungsfunktion oder das Temperaturfeld, näherungsweise zu bestimmen. Durch Ableitung der Funktionen nach den Koordinaten ermittelt man dann weitere gewünschte Größen, wie z. B. die Dehnungen, die Spannungen oder die Wärmestromdichte.

Als Lösungsverfahren für die Differentialgleichungen stehen analytische und numerische Verfahren zur Verfügung. Die analytischen Verfahren werden oft als "exakte" Verfahren bezeichnet. "Exakt" bedeutet jedoch nur "exakt" im Sinne der Theorie - die Ergebnisse können aufgrund der Annahme der Theorie von der Wirklichkeit stark abweichen. Die Anwendung von analytischen Verfahren ist auf wenige Sonderfälle beschränkt. Für Aufgaben in der Praxis sind numerische Verfahren besser geeignet. Sie erlauben zwar nur Näherungslösungen, sind aber auch auf komplexe Geometrien anwendbar. Die Mathematiker haben sich eine ganze Reihe von Lösungsverfahren ausgedacht: Differenzenverfahren, Kollokationsverfahren, Reihenansätze, Fehlerquadratminimumverfahren, Variationsverfahren, um nur einige zu nennen.

Eine Grundidee ist allen numerischen Verfahren gemeinsam: Es wird ein Näherungsansatz für die unbekannte Funktion aufgestellt. Der Lösungsansatz ist in der Regel ein Produktansatz, der aus vorgegebenen Formfunktionen und freien Koeffizienten besteht. Es sei nur erwähnt, dass diese Formfunktionen nicht ganz willkürlich gewählt werden. Sie müssen gewisse Bedingungen, z. B. die Differentialgleichung im Innern des Gebiets oder bestimmte Bedingungen am Rand erfüllen.

Die Verfahren gehen entweder von der Differentialgleichung aus, wie das Differenzenverfahren, oder von der Integralform ("schwache Form der Differentialgleichung").

Die erstgenannte Vorgehensweise überführt das Differentialgleichungsproblem direkt in ein algebraisches Gleichungssystem. Bei Verwendung der Integralform wird aus der Forderung nach einem Extremum, z.B. dem Minimum des Fehlerquadrats oder dem Minimum der potentiellen Energie, ein algebraisches Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten erzeugt. Die Idee, das Minimum der potentiellen Energie zur Bestimmung der Koeffizienten zu verwenden, geht auf Ritz zurück. Man spricht deshalb auch vom Ritz-Verfahren.

Durch Auflösung des Gleichungssystems werden die Koeffizienten bestimmt. Dadurch ist die gesuchte Näherungsfunktion festgelegt.

Dies ist die prinzipielle Vorgehensweise klassischer numerischer Lösungsverfahren. Die einzelnen Verfahren unterscheiden sich nur durch die zugrundegelegten Ansatzfunktionen und durch die Art und Weise der Bestimmung der Koeffizienten der Ansatzfunktionen.

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