Analoge Potentialfelder
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: analogous potential field Kategorie: 
Level 2 Theorie Physik
Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Gradientenfeld
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Simulation
Ein analoges Potentialfeld ist ein Feld, das mit einer Differentialgleichung vom Typ eines Potentialfeldes beschrieben werden kann, aber nicht notwendigerweise dieselben physikalischen Größen aufweist.
Grundlagen
Viele der physikalischen Domänen, die mit FEM-Anwendungen simuliert werden, können als Potentialfelder beschrieben werden. Die Abbildung rechts zeigt für Strukturmechanik, Temperaturfeld und zwei verschiedene Formulierungen von Magnetfeldern den Zusammenhang zwischen
- dem Potential,
- seiner örtlichen Ableitung,
- der Größe, die man dann durch Einbeziehung der Materialdaten erhält und
- dem Ergebnis der Integration über das Berechnungsgebiet.
Mit dieser Darstellung werden prinzipielle Zusammenhänge zwischen den Potentialfeldern erkennbar. Der Vergleich der Potentialfelder untereinander kann das Verständnis der Effekte und der auftretenden Größen erleichtern.
Über diese Anwendungen hinaus gibt es weitere Analogien zu physikalischen Vorgängen. Als Basis für die Beschreibung der Simulation von analogen Potentialfeldern, die hier folgt, wird die Simulation eines Temperaturfeldes verwendet. Das Temperaturfeld eignet sich dafür, weil die Temperatur eine skalare (nicht richtungsabhängige) Größe ist.
Es werden hier die Gleichungen des stationären Temperaturfeldes verwendet, um analoge, ähnliche physikalische Aufgabenstellungen zu diskutieren und eine Vorgehensweise anzubieten, auch solche Aufgabenstellungen zu lösen. Dazu müssen nur bereits bekannte Größen mit neuen Bedeutungen versehen werden, Bezeichnungen "übersetzt" bzw. substituiert werden - und schon kann diese analoge Aufgabe mit dem Finite-Element- Programm gelöst werden!
Die Grundlage des stationären Temperaturfeldes ist die quasiharmonische Differentialgleichung
Hierbei bedeuten
- λ = Leitfähigkeit
- T = Temperatur
- t = Zeit
- f = Lastfunktion
Bei den nunmehr untersuchten analogen Anwendungen liegt im wesentlichen weiterhin diese Gleichung zugrunde. An die Stelle der Wärmeleitfähigkeit treten jedoch andere Materialeigenschaften, die die Durchlässigkeit, den Widerstand oder andere Eigenschaften des Werkstoffes beschreiben. Anstelle der Temperatur ist eine Potenzialfunktion einzusetzen, also eine im Bauteil verteilte Größe in der Art einer potenziellen Energie. Auf der rechten Seite sind üblicherweise äußere Effekte zusammengefasst, durch die das untersuchte Feld hervorgerufen wird. In dieser allgemeinen Bedeutung erkennen wir die Gleichung als Poisson-Differentialgleichung
mit
- ∇ = Nabla-Operator
- λ = Leitfähigkeit
- Φ = Potentialfunktion
- R = Rechte Seite
Für manche physikalischen Effekte ergibt sich als Sonderfall dieser Gleichung die Laplace-Differentialgleichung
Mit der Poisson-Differentialgleichung kann eine Vielzahl von stationären physikalischen Vorgängen beschrieben werden, wie z. B.
- Temperaturfeld, Wärmeübertragung (dieses Feld haben wir hier zugrunde gelegt, Näheres finden Sie bei Temperaturfeld)
- Elektrostatisches Feld
- Elektrische Leitung (Gleichstrom, Gleichspannung)
- Sickerströmung
- Torsion von Wellen oder langen, schlanken Profilen
- Potenzialströmung (reibungsfrei, inkompressibel)
- Diffusion
- vorgespannte Membran, Seifenhaut
- Magnetostatik
- Schwinden, Trocknen von Holz
- Wellenschlag, Oberflächenwellen von flachen Gewässern
- Druckverteilung in einem Schmierfilm
und andere.
Bei zeitlich veränderlichen Vorgängen treten zusätzliche Effekte auf, die nicht mehr direkt analog zu anderen physikalischen Anwendungen vergleichbar sind. Hierzu zählen zum Beispiel
- beim Temperaturfeld die Auswirkung der Wärmekapazität, also des Speichervermögens des Materials, sowie eventuell von Phasenwechselvorgängen,
- beim elektrischen Feld die Wechselwirkung mit Magnetfeldern (Induktionsgesetz, Maxwellgleichungen)
und andere. Die Untersuchung dieser transienten, zeitlich veränderlichen Vorgänge bei anderen Feldeffekten gehen über den Umfang dieser Seite hinaus und werden hier nicht weiterverfolgt.
Analogien
Für einige dieser analogen Felder zeigen wir hier, wie eine analoge Simulation durchgeführt werden kann. Dazu kann das Simulationsprogramm mit Daten des Temperaturfeldes angewendet werden. Als Anwender werden vorher analoge Größen eingegeben und nach der Berechnung die Ergebnisse in analoge Ergebniswerte übersetzt.
Diese analogen Größen werden hier beschrieben für
- Elektrostatisches Feld
- Elektrische Leitung (Gleichstrom, Gleichspannung)
- Sickerströmung
- Torsion von Wellen oder langen, schlanken Profilen
- Potenzialströmung (reibungsfrei, inkompressibel)
- Diffusion
- vorgespannte Membran, Seifenhaut
Literatur
In der Literatur finden sich zahlreiche Hinweise auf die Analogie der hier dargestellten physikalischen Probleme. In vielen Fällen sind jedoch nur einzelne der Analogien dargestellt. Im einzelnen können weitere Hinweise gefunden werden unter anderem bei
- Knothe(1991), S. 70
- Schwarz(1980), S. 11
- Zienkiewicz(1986), S. 423
- Kardestuncer(1987), S. 2.34
- Bathe(1986), S. 109, S. 460
