Analogie Torsion

Aus ESOCAETWIKIPLUS

engl: torsion of shafts or profiles          Kategorie: Level 2 Theorie Physik

Die Simulation der Torsion von Wellen oder Profilen ist als Teil der Strukturmechanik direkt mit den geeigneten Simulationsprogrammen möglich.

Wenn Sie als Anwender jedoch die Analogie der Potentialfelder nutzen möchten, können Sie mit dem im Folgenden beschriebenen Zusammenhang zwischen dem Temperaturfeld und der Torsion von Wellen oder Profilen "übersetzen".

Analogie: Torsion von Wellen oder Profilen

Die hier dargestellte Analogie betrifft eine Problematik aus der Festigkeitslehre und der Strukturmechanik. Untersucht wird die Torsion von langgestreckten, schlanken Bauteilen wie z. B. Maschinenwellen, Achsen und Stahlprofilen des Stahlbaus.

Unter der Voraussetzung, dass eine Verwölbung des Profils nicht auftritt und reine St. Venantsche Torsion vorliegt, kann eine Poisson-Differentialgleichung abgeleitet werden, die die Verteilung der Schubspannungen im Querschnitt repräsentiert

Darin sind

• G = Gleitmodul des Materials
• Θ = der Verdrehwinkel, Verwindung des Querschnitts und
• Φ = eine Spannungsfunktion, die mit den Schubspannungen zusammenhängt

Mit dieser Analogie ist also die Verteilung der Schubspannungen in einem Querschnitt eines Profils berechenbar, das mit einem Torsionsmoment belastet ist und verdreht ist.

Der Gleitmodul kann aus dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktion ν berechnet werden nach

Bei dieser Aufgabe liegt die Randbedingung vor, dass am Rand des Querschnitts die Schubspannungen senkrecht zum Rand verschwinden müssen.

In der analogen Anwendung wird das Potential wie eine Temperatur behandelt, der Gleitmodul wird als Reziprokwert anstelle der Wärmeleitfähigkeit eingesetzt. Die Verwindung des Querschnitts entspricht einem Quellterm im thermischen Modell (der rechten Seite der Differentialgleichung). Die oben erwähnte Randbedingung betrifft die Schubspannungen, also den Gradienten der Spannungsfunktion. Zur Erfüllung dieser Randbedingung muss um den Rand herum das Potential den gleichen Wert haben. Dies bedeutet, dass als Randbedingung im analogen thermischen Modell alle Temperaturen am Modellrand auf einen Wert festgehalten werden, jedoch ist der Zahlenwert nicht von Bedeutung. Üblicherweise wird am Rand die Temperatur auf Null vorgeschrieben.

Die analoge Abbildung dieser Aufgabenstellung ist für geschlossene Vollquerschnitte damit problemlos möglich. Wenn ein geschlossenes, aber hohles Profil abzubilden ist, muss am Innenrand ein einheitliches Potential erzwungen werden, so dass auch dort die vorgenannte Randbedingung der Schubspannungsfreiheit erfüllt ist. Durch eine Bindung bzw. Kopplung des Potentials am Innenrand wird diese Bedingung des Potentialgradienten erfüllt. Es erfolgt dadurch eine gegenseitige Kopplung des Potentials auf einen noch zu berechnenden Wert (ein verbleibender Freiheitsgrad). Diese Kopplung bewirkt nicht, dass eine unzulässige zusätzliche Festlegung der tatsächlichen Höhe des Potentials am Innenrand eingeprägt wird.