Materialdämpfung
Aus ESOCAETWIKIPLUS
engl: material damping Kategorie: 
Level 2 Mechanik Theorie
Materialdämpfung (auch als Werkstoffdämpfung bezeichnet) ist ein Phänomen der inneren Dämpfung in der Strukturmechanik.
Die Materialdämpfung wird durch die innere Umordnung verursacht, welche thermischer und atomarer Natur sein kann. Sie ist abhängig von der Temperatur, der Art der Beanspruchung und bei periodischer Belastung von der Frequenz. Es zeigt sich, dass mit der Frequenz auch die Mikromechanismen der Dämpfung wechseln. In jedem Werkstoff sind Deformationen stets mit Energiedissipation verbunden. Bei quasistatischen Belastungen ist sie vernachlässigbar klein, nicht aber bei dynamischen Lasten.
Grundlagen
Bei einer quasistatischen Belastung, bei der der Werkstoff genügend Zeit zur Ausbildung des Verformungszustandes hat, genügt zur Werkstoffbeschreibung das Hookesche Gesetz, Spannungen und Verschiebungen stellen sich zeitgleich ein.
Bei dynamischen Lasten trifft dies aber nicht mehr zu, was im Versuch nachgewiesen werden kann. Wird z.B. eine Spannung σ plötzlich aufgebracht und dann konstant gehalten, so wächst die Dehnung ε über den Wert der spontanen, statischen Dehnung ε0 weiter an. Wird umgekehrt die Dehnung konstant gehalten, sinkt die Spannung ab. Das erste Phänomen wird als Kriechen und das zweite als Relaxation bezeichnet.
Bei einem harmonischen Spannungs- und Dehnungsverlauf äußert sich das Phänomen in einer Phasenverschiebung der Dehnung gegenüber der Spannung. Eliminiert man die Zeit aus der Darstellung, so erhält man einen schleifenförmigen Linienzug, der als dynamische Hysterese bezeichnet wird. Diese tritt bereits bei Spannungen weit unter der Fließgrenze auf und ist daher nicht mit der Hysterese beim Auftreten plastischer Dehnungen zu verwechseln.
Die Fläche unter der Spannungs-Dehnungskurve ist die spezifische Arbeit, wobei man erkennt, dass bei Entlastung nur ein Teil der Energie wieder zurückgenommen wird. Die Fläche der Hysteresisschleife stellt den je Schwingungsperiode im Werkstoff dissipierten Energiebetrag dar.
Als Maß für das Dämpfungsverhalten gilt der sogenannte Werkstoffverlustfaktor (loss factor of material). Mit der Formänderungsenergie W definiert man
Dieser Wert wird in der technischen Literatur nicht einheitlich definiert. Daher ist besondere Aufmerksamkeit angebracht: Es gibt auch Definitionen ohne den Wert 2.
Ein Modell, um in einer numerischen Simulation die Werkstoff- oder Materialdämpfung zu berücksichtigen, ist die Rayleigh-Dämpfung.
Mathematisch-physikalisches Modell
Die komplizierten Zusammenhänge versucht man phänomenologisch zu erfassen und durch einfache mathematisch-physikalische Modelle zu beschreiben. Das einfache Modell ist das Zweiparameter-Modell von Kelvin/Voigt. Es beschreibt einen Werkstoff mit linear elastischem, linear viskosem Verhalten
Für ein schwingendes System ergibt sich damit (ohne die Trägheitskraft) die schon bekannte Beziehung bei viskoser Dämpfung
Der Dämpfungskoeffizient c beschreibt das Abklingen der Eigenschwingung und verhindert bei Fremderregung das mit der Zeit lineare Anwachsen der Amplitude im Resonanzfall.
Wir betrachten nun eine harmonische Schwingung des Systems mit
Die in jeder Schwingungsperiode dissipierte Dämpfungsenergie WD ergibt sich dann zu
Zur Veranschaulichung soll die Hysteresisschleife nach der oben dargestellten Abbildung für die viskose Dämpfung berechnet werden.
Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen c ρ ω und ρ. Für die Fläche ergibt sich
Für die maximale Formänderungsenergie W erhält man
Damit ergibt sich der Werkstoffverlustfaktor Ψ zu
Diese Werkstoffgröße, die die Dämpfung repräsentiert, ist also frequenzabhängig.
Da die Dämpfung in der Regel gering ist, wird von ihr das Schwingungsverhalten nur in der Nähe der Resonanz wesentlich beeinflusst. In diesem Bereich ist die maximale Amplitude maßgeblich von der Dämpfung bestimmt. Daher wird für die Beschreibung der Dämpfung der Verlustfaktor der Resonanzfrequenz herangezogen
Damit erhält man folgenden Zusammenhang zwischen dem maßgebenden Werkstoffverlustfaktor Ψ und dem Dämpfungsgrad ξ
