Stab-Element

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engl: link element          Kategorie: Aa-leerbild.jpg Level 2 Theorie


Ein Stab-Element (auch Linien-Element genannt) ist ein Element-Typ der Finite-Elemente-Methode. Einem Stab-Element liegen bestimmte Annahmen zugrunde. (Im Vergleich dazu wird mit einem Volumen-Element das 3-dimensionale Bauteil-Verhalten sehr realitätsnah abgebildet.)

Ein Stab-Element ist ein linienförmiges Element mit 2 Endknoten, das einen langgestreckten Stab simuliert. Ein Stab-Element ist für ein Bauteil vorgesehen, das länglich und schlank ist. Die Längsrichtung bestimmt die Ausrichtung des Stab-Elementes. Quer zu dieser Längsrichtung werden pauschale Annahmen über die Form, die Eigenschaften und die Ergebnisse des Stab-Elementes getroffen.

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Stab-Element-2.JPG

Ein 2-dimensionales Stab-Element ist in einer Ebene angeordnet (modelliert). Ein 3-dimensionales Stab-Element ist im Raum angeordnet (modelliert).

Quer zur Achse des Stab-Elementes wird der Querschnitt durch Zahlenwerte wie Querschnittsfläche bzw. Quer-Abmessungen repräsentiert. Mit diesen Werten wird die Steifigkeitsmatrix des Elementes berechnet. Diese Zahlenwerte werden im allgemeine anschaulich durch einen rechteckigen Querschnitt mit den entsprechenden Abmessungen grafisch dargestellt.

Strukturmechanik

Die Eigenschaften eines Stab-Elementes in der Strukturmechanik sind durch seine Längsrichtung geprägt. Es kann länger oder kürzer werden, dies entspricht einer Zunahme oder einer Abnahme des Abstandes der beiden Knoten des Elementes.

In einem 1-dimensionalen Fall (das ist aber absolut unüblich) sind an den Knoten als Freiheitsgrad jeweils eine Verschiebung ux vorgesehen. Die Zunahme oder Abnahme des Abstandes der beiden Knoten des Elementes ergibt sich dann direkt aus den Werten der Verschiebungen ux.

Im 2-dimensionalen Fall unterstützt das Stab-Element an den beiden Knoten als Freiheitsgrade die zwei Verschiebungen in dieser Ebene (ux,uy). In diesem Fall ergibt sich die Zunahme oder Abnahme des Abstandes der beiden Knoten des Elementes vektoriell aus den Werten beider Verschiebungs-Richtungen ux und uy.

Im allgemeinen 3-dimensionalen Fall unterstützt das Stab-Element an den beiden Knoten als Freiheitsgrade die drei Verschiebungen im Raum (ux,uy,uz). Hier ergibt sich die Zunahme oder Abnahme des Abstandes der beiden Knoten des Elementes ebenfalls vektoriell aus den Werten der Verschiebungs-Richtungen, hier nun ux,uy,uz.

Temperaturfeld

Ein Stab-Element für die Simulation von Temperaturfeldern unterstützt an den Knoten jeweils den Freiheitsgrad Temperatur (TEMP).

Simulation

Elementsteifigkeitsmatrix

Die Elementsteifigkeitsmatrix für ein Stab-Element in der Strukturmechanik ist hier dargestellt für die Längsrichtung xE des Elementes als

Stab-Element-1.jpg

Für ein Stab-Element gehen in die Elementsteifigkeitsmatrix die Länge L des Elementes (also die Distanz zwischen den beiden Knoten), die Querschnittsfläche Am des Elementes und die Materialdaten (der Elastizitätsmodul E in der Strukturmechanik oder die Wärmeleitfähigkeit im Temperaturfeld) ein.

Stab-Element-3.JPG

Die Elementsteifigkeitsmatrix für ein Stab-Element der Strukturmechanik mit 2 Knoten (mit jeweils dem Freiheitsgrad ux) enthält 2 x 2 Zahlenwerte. In der Skizze rechts ist eine solche Matrix prinzipiell mit der Zuordnung zu den Freiheitsgraden der Knoten uxI,uxJ dargestellt.

Diese Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix werden bei der Vorbereitung der Lösung innerhalb des Elementes in das globale Koordinatensystem transformiert und in die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Gesamt-Gleichungssystems eingefügt.

Lasten

Ein Stab-Element kann unter anderem mit

beaufschlagt werden.

Stab-Element-4.JPG

In der Skizze rechts ist der Lastvektor dargestellt, der aus den Lasten auf das Element gebildet wird. Für ein Stab-Element der Strukturmechanik mit 2 Knoten enthält er 2 Zahlenwerte.

Diese Lasten werden bei der Vorbereitung der Lösung innerhalb des Elementes auf die Knoten umgerechnet. Anschließend werden sie in das globale Koordinatensystem transformiert und (wie die Elementsteifigkeitsmatrix in die Gesamtsteifigkeitsmatrix) in den Lastvektor des Gesamt-Gleichungssystems eingefügt.

Lösung

Der numerische Aufwand für Stab-Elemente bei der Lösung ist sehr gering (im Vergleich zu anderen Element-Typen).

Ergebnisgrößen

Die Ansatzfunktionen des Stab-Elementes beschreiben den Verlauf der Freiheitsgrade entlang des Stab-Elementes.

Die Ergebnisgrößen, die nach der Lösung durch Integration bestimmt werden (Dehnungen, Spannungen,..), sind an dem Integrationspunkt in Element-Mitte gültig.

Nach der Lösung ergibt sich zum Beispiel in der Strukturmechanik für einen Stab, der durch eine Kraft an den Enden gezogen wird, eine einheitliche Spannung (über die Länge und über den Querschnitt überall gleich).

Beispiel

Elem-Steif-2.JPG

An einem Beispiel der Strukturmechanik wird hier gezeigt, welche Zahlenwerte in der Elementsteifigkeitsmatrix des Stab-Elementes berechnet werden. Das Bauteil ist hier in der Abbildung rechts dargestellt. Es ist ein Quader mit den Abmessungen 50 x 20 x 1 mm. Als Materialdaten verwenden wir einen Elastizitätsmodul von 210000 MPa und eine Querkontraktion von 0.3. Dieses Modell entspricht in dem Beispiel der FEM-Handrechnung dem Element 2.

Hier wird das Bauteil mit einem Stab-Element mit einem FEM-Programm (ANSYS® Mechanical) simuliert. Als Element-Typ des Stab-Elementes der Strukturmechanik wird "LINK180" verwendet. Eine Skizze des Modells ist hier in der Abbildung rechts gezeigt. Die Länge L des Elementes ist die Distanz von 50 mm zwischen den beiden Knoten I und J. Die Querschnittsfläche Am des Elementes ist als 20 mm2 eingesetzt. Die Dateneingabe für ANSYS® Mechanical 17.0 finden Sie hier.

Elem-Steif-3.JPG

Hier für diese Anwendung wurde veranlasst, dass die Zahlenwerte der Elementsteifigkeitsmatrix ausgegeben werden. Die Meldung des Programms ergibt

Elem-Steif-4.JPG

Innerhalb der FEM-Software wurden für die beiden Knoten I und J des Elementes alle 3 Freiheitsgrade ux,uy,uz für eine Verwendung im 3-dimensionalen Raum vorgesehen. Die Zahlenwerte zeigen aber, dass nur Beiträge in der Richtung der Element-Längsachse xE wirksam sind.

Die Zahlenwerte sind vergleichbar zu denjenigen des Elementes 2 des Beispiels der FEM-Handrechnung.

Aus der Erfahrung

Nichtlinearität

Wenn ein Stab-Element für die Simulation eines Seiles oder einer Kette eingesetzt wird, dann muss das Element unter Zugbelastung wirksam sein (also die Zugkraft übertragen und im Gleichungssystem eine Steifigkeit beitragen), aber unter Druckbelastung weich und schlaff bleiben (und keine Steifigkeit aufweisen). Ein solches Verhalten stellt eine Nichtlinearität dar. Hierfür werden auch die Begriffe Seil-Element oder tension-only verwendet.

Auch wenn für das Material des Elementes Daten eingegeben werden, die eine Materialnichtlinearität enthalten, liegt ein nichtlineares Verhalten vor.

Selbststudium

Icon-theorie-0.jpg

Die Herleitung und Anwendung der Elementsteifigkeitsmatrix für das Stab-Element wird im Selbststudium-Beispiel des konischen Zugstabes im Detail erläutert.

Die Verwendung von verschiedenen Koordinatensystemen bei der Erstellung der Elementsteifigkeitsmatrix und der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschreibt eine Folge "Steifigkeitsmatrizen und Koordinatensysteme" an einem Beispiel.

Sonstige Begriffe

Sonstige Elementtypen sind Volumen-Elemente, Schalen-Elemente, SolidShell-Elemente, ebene Elemente, Balken-Elemente.

In einem FEM-Modell können durchaus unterschiedliche Elementtypen gemeinsam verwendet werden. In solchen Fällen ist aber auf die angemessene Bindung der Freiheitsgrade zu achten.

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