Temperaturfeld

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engl: thermal field          Kategorie: Aa-leerbild.jpg Level 1 Physik Theorie Temperaturfeld


Allgemeine Informationen hierzu finden Sie zum Beispiel bei wikipedia:Temperaturfeld

Ein Temperaturfeld ist das Feld der Temperaturen in einem Bauteil. Dieses Feld ist geprägt dadurch, dass es unterschiedliche Temperaturen gibt und Wärme von den warmen Bereichen zu den kühleren Bereichen fließt.

Im Folgenden liegt der Schwerpunkt auf Temperaturfeldern in Festkörpern. Dabei ist meistens Wärmeleitung (Konduktion) maßgebend.

Bei Temperaturfeldern in strömenden flüssigen oder gasförmigen Medien sind die Methoden der Fluiddynamik (CFD, computational fluid Dynamics) anzuwenden. Diese Methoden sind im Folgenden NICHT dargestellt.

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Analoges-Potentialfeld-3.JPG

Das Temperaturfeld kann als Potentialfeld betrachtet werden. Die Abbildung rechts zeigt den Zusammenhang zwischen

Mit dieser Darstellung werden prinzipielle Zusammenhänge mit anderen Potentialfeldern erkennbar. Der Vergleich der Potentialfelder untereinander kann das Verständnis der Effekte und der auftretenden Größen erleichtern.

Für das Temperaturfeld wird auch die Bezeichnung Wärmeleitung verwendet, weil die Wärme von den warmen Bereichen zu den kühleren Bereichen "fließt". Dies ist einer der wesentlichen Effekte beim Temperaturfeld (insbesondere trifft dies bei Festkörpern zu).


Temperaturfeld-4.jpg

Die Abbildung rechts zeigt einen Mikroprozessor mit einem Kühlkörper. Im Betrieb entsteht in dem Mikroprozessor Wärme durch die elektrischen Verluste. Diese Wärme fließt in das Aluminium des Kühlkörpers, das Aluminium leitet die Wärme weiter, dies wird als Wärmeleitung (Konduktion, conduction) bezeichnet.

An den Rippen des Kühlkörpers wird die Wärme dann an die umgebende Luft abgegeben. Dieser Übergang vom Aluminium (Festkörper) zur umgebenden Luft (Medium) wird auch als Wärmeübergang (Konvektion, convection) bezeichnet.

Im Dauerbetrieb des Mikroprozessors ändert sich an diesem Zustand nichts. Man spricht dann von einem stationären Temperaturfeld. Im stationären Zustand gibt es keine zeitlichen Änderungen. Dies ist hier der Fall, auch wenn die Wärme "strömt".

Wenn der Mikroprozessor ausgeschaltet war und aus diesem Ruhezustand heraus in Betrieb genommen wird, dann heizt er sich zunächst auf. Erst nach und nach wird auch der Kühlkörper warm. Damit wird über die Zeit verzögert erst der Mikroprozessor warm, dann der Kühlkörper, und schließlich stellt sich durch die Wärmeabgabe an den Rippen der stationäre Zustand ein, der vorher beschrieben wurde. Beim Einschalten ändern sich also die Temperaturen auch über die Zeit. Man spricht dann von einem transienten Temperaturfeld.

Simulation

Das Modell zur Simulation des Mikroprozessors umfasst zunächst das feste Material (Festkörper). Bei dem Wärmetransport vom Mikroprozessor in den Kühlkörper und weiter zu dessen Rippen sind die vorherrschenden Effekte die Wärmeleitung (Konduktion) und die Speicherung von Wärme (Wärmekapazität) im festen Material.

Der Wärmeübergang an der Oberfläche der Rippen zur Umgebungsluft stellt einen äußeren Einfluss für den Festkörper dar. Dieser Einfluss wird als Randbedingung (Konvektion) für das Temperaturfeld-Modell berücksichtigt.

Die Simulation des weiteren Wärmetransportes in der Umgebungsluft ist Gegenstand der Fluiddynamik (CFD). Das Modell hierfür umfasst die Luft, die Bewegungen und Strömungen in der Luft, die Druckverhältnisse usw.

Stationäres Temperaturfeld

Das stationäre Temperaturfeld ist diejenige Temperaturverteilung, die sich im Dauerbetrieb einstellt. Dabei gibt es eine Wärmequelle im Mikroprozessor durch die elektrischen Verluste. Diese Wärme fließt in das Aluminium des Kühlkörpers. An den Rippen des Kühlkörpers wird die Wärme dann an die umgebende Luft abgegeben. Im Dauerbetrieb des Mikroprozessors ändert sich an dieser Verteilung nichts.

Die Differentialgleichung für diese Anordnung wird geschrieben als

Temperaturfeld-1.jpg

wobei x hier vereinfacht für die Orts-Koordinaten der Richtungen im Raum steht, λ ist die Wärmeleitfähigkeit, T ist die Temperatur und Q der Wärmestrom einer Wärmequelle oder –senke.

Diese Gleichung gilt also für die Wärmeleitung im Material des Mikroprozessors und des Kühlkörpers von der Wärmequelle (Mikroprozessor) bis hin zur Oberfläche der Rippen, die durch die vorbeiströmende Luft eine Wärmesenke darstellen.

Transientes Temperaturfeld

Das transiente (instationäre) Temperaturfeld ergibt Temperaturverteilungen, die sich über die Zeit verändern. Bei Einschalt- oder Ausschaltvorgängen sind transiente Temperaturfelder zu erwarten.

Betrachten wir den Mikroprozessor, der lange ausgeschaltet war und Umgebungstemperatur angenommen hat. Beim Einschalten beginnt die Wärmeerzeugung durch die elektrischen Verluste, dadurch heizt sich zunächst der Prozessor selber auf. Das Material speichert einige Wärme, bevor auch der Kühlkörper wärmer wird. Nun steigt sowohl im Prozessor als auch im Kühlkörper die jeweilige Temperatur weiter an. Langsam werden auch die Rippen warm, mehr und mehr Wärme wird jetzt dort an die Luft abgegeben. Nach (unendlich) längerer Zeit stellt sich eine Verteilung ein, die dem Dauerbetrieb des Mikroprozessors entspricht, dann ändert sich an der Verteilung nichts mehr.

Der ideale Grenzwert dieses Einschaltvorganges ist das stationäre Temperaturfeld.

Die Differentialgleichung das transiente Temperaturfeld wird geschrieben als

Temperaturfeld-2.jpg

wobei c die Wärmekapazität des Materials und ρ die Dichte ist, t ist die Zeit und wie bisher im stationären Temperaturfeld steht x hier vereinfacht für die Orts-Koordinaten der Richtungen im Raum, λ ist die Wärmeleitfähigkeit, T ist die Temperatur und Q der Wärmestrom einer Wärmequelle oder –senke.

Diese Gleichung stellt eine Leistungsbilanz auf, die sich aus der gespeicherten Leistung (Kapazität mal zeitliche Änderung der Temperatur) und der Wärmeleitung im Material (Leitfähigkeit mal Temperatur) gegenüber den von außen zu- und abgeführten Leistungen ergibt.

Lösungen dieser Differentialgleichung (1. Ordnung) sind im Prinzip e-Funktionen. Es kann niemals eine Schwingung auftreten wie zum Beispiel in der Strukturmechanik (Differentialgleichung 2. Ordnung).

Nichtlinearitäten

Nichtlinearitäten sind solche Effekte oder Bauteileigenschaften, die eine Abhängigekit von der jeweiligen Temperatur aufweisen (die Temperatur ist der Freiheitsgrad in der Temperaturfeld-Simulation). Dazu zählen temperaturabhängige Materialwerte oder Konvektions-Koeffizienten (Wärmeübergangskoeffizienten). Auch Strahlung oder Phasenwechsel stellen Nichtlinearitäten des Temperaturfeldes dar.

Abhängigkeiten von Größen, die nicht Freiheitsgrade des Temperaturfeldes sind (zum Beispiel Verschiebungen), sind nicht als Nichtlinearität anzusehen. Dazu zählt auch Kontakt. Kontakt ist zunächst eine Nichtlinearität einer Simulation der Strukturmechanik, weil die Eigenschaften dabei durch die Verschiebungen (also die Freiheitsgrade der Strukturmechanik) gesteuert sind. Am Kontakt zwischen zwei Bauteilbereichen ist jedoch auch der Wärmetransport von der aktuellen Kontaktbedingung abhängig. Hierfür kann thermischer Kontakt simuliert werden. Dies erfolgt dann im Rahmen einer Multiphysik-Berechnung.

Anwendung der FEM

Bei der Anwendung der FEM ergibt sich durch die Diskretisierung aus der Differentialgleichung ein Gleichungssystem. Es wird hier als Matrizengleichung gezeigt. Dabei sind die Größen in eckigen Klammern [c] als Matrix und diejenigen in geschweiften Klammern {T} als Vektoren im numerischen Sinne zu verstehen.

Für das stationäre Temperaturfeld ergibt sich das Gleichungssystem zu

Temperaturfeld-21.jpg

Hierin sind in [K] die Wärmeleitfähigkeit und geometrische Abmessungen des Bauteils, in {T} die örtliche Temperatur und in {Q} die Wärmezu- bzw. -abfuhr enthalten. Im stationären Temperaturfeld sind alle diese Größen zeitlich ungeändert.

Für das transiente Temperaturfeld ergibt sich das Gleichungssystem zu

Temperaturfeld-22.jpg

Zusätzlich sind hier in [c] die Wärmekapazität und die Dichte des Materials mit geometrischen Abmessungen und in {T}(punkt) der zeitliche Temperaturgradient enthalten. Im transienten Temperaturfeld sind alle diese Größen zeitlich veränderlich.

Freiheitsgrad

Temperatur
Der Freiheitsgrad der Temperaturfeld-Simulation ist die Temperatur. Dies ist eine skalare Größe ohne Richtungseigenschaften.

Temperaturfeld-6.jpg

Element-Typ

Der Element-Typ eines FEM-Simulationsmodells entscheidet über den Typ der Ansatzfunktionen, der im Element zugrunde gelegt wird. Die Ansatzfunktion repräsentiert den Verlauf der Freiheitsgrade im Bereich des Elements und simuliert damit das physikalische Verhalten Materials, das durch das Element abgebildet wird.

Für Temperaturfelder werden überwiegend Volumen-Elemente verwendet. Sie haben im allgemeinen Hexaeder-Form (wie rechts skizziert) mit jeweils 8 Eck-Knoten. Eine Vereinfachung zu Tetraederform (4 räumlich angeordnete Eck-Knoten) oder Keilform (6 Eck-Knoten) kann numerisch ungünstig sein.

Nur in Sonderfällen kann das Bauteil bei der Idealisierung vereinfacht werden. Zum Beispiel können ebene Elemente verwendet werden, wenn ein Querschnitt einer Kühlschrank- oder Autotür-Dichtung zu simulieren ist. Hier ist die Ausdehnung in Längsrichtung so groß, dass in dieser Längsrichtung überall gleiche Bedingungen vorliegen. Auch axisymmetrische Elemente sind zu erwähnen. Modelle mit ebenen oder axisymmetrischen Elementen sind 2-dimensional (also nur in der x-y-Ebene definiert).

Schalen-Elemente können verwendet werden, wenn ein dünnes Bauteil zu simulieren ist, bei dem keine Temperaturdifferenzen zwischen Ober- und Unterseite auftreten können. Oder Linien-förmige Elemente können für Kabel oder dünne Leiter verwendet werden.

Symmetrie

Bei der Berücksichtigung von Symmetrien ist die Geometrie des Bauteils und die Verteilung und Anordnung der Randbedingungen (Lagerungen und Lasten) zu beachten.

Temperaturfeld-5.jpg

Materialdaten

Für eine stationäre Simulation eines Temperaturfeldes muss

gegeben sein. Für eine transiente Simulation müssen zusätzlich noch

oder

verfügbar sein. Näheres dazu finden Sie bei Materialdaten Temperaturfeld. Anhaltswerte für Materialdaten des Temperaturfeldes sind rechts in der Tabelle dargestellt.

Randbedingungen: Lagerungen

Eine typische Lagerung ist eine lokal vorgegebene festgehaltene Temperatur.

Randbedingungen: Lasten

Als Last im Temperaturfeld können folgende Größen angegeben werden:

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