Symmetrie Beispiel: Kühlturmschale

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An einem strukturmechanischen Modell mit Schalen-Elementen wird die Bedeutung von nodalen Koordinatenrichtungen und symmetrischen und antisymmetrischen Randbedingungen gezeigt. Es werden linear veränderliche verteilte Lasten aufgebracht.

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Inhaltsverzeichnis

Die Aufgabenstellung

Ein Kühlturm ist als dünnwandiges Bauteil unter einer Windlast zu berechnen. Die Kontur, aus der durch Rotation die Schale der Wandung entsteht, ist mit einigen Stützpunkten gegeben, die durch eine Spline-Kurve zu verbinden sind. Die Schalendicke beträgt 0.1 m.

Die Abbildung rechts zeigt ein Foto eines ähnlichen Kühlturms. Daneben ist das FEM-Modell gezeigt. Das Modell stellt ein Viertel des Kühlturms dar.

Die Windlast kann zur Vereinfachung linear um den Umfang veränderlich abgebildet werden. Die Last auf die dem Wind zugewandte Luvseite und diejenige auf die dem Wind abgewandte Leeseite können als antisymmetrisch angenommen werden, so dass ein Staudruck auf der Luvseite und ein Unterdruck auf der dem Wind abgewandten Leeseite repräsentiert werden. Die Auflagerung des unteren Randes der Kühlturmschale soll in Tangentialrichtung (Umfangsrichtung der Schale) und in Meridianrichtung (der Mantellinie der Schale nach oben folgend) erfolgen, um Randstörungen zu vermeiden.

Es ist die Verteilung der Spannungen in der Kühlturmschale zu berechnen. Bei der Auswertung sind die Membranspannungen (der konstante Anteil über die Wanddicke), die Biegespannungen (der lineare Anteil über die Wanddicke) und die Summe aus Membran- und Biegespannungen darzustellen.

Im allgemeinen sind die Membran- und Biegespannungen maßgebend für die Beanspruchung an der Oberfläche des Schalenbauteils. Im vorliegenden Fall wird jedoch bewehrter Beton (Stahlbeton) als Baumaterial verwendet. Der Beton kann durch seine hohe Druckfestigkeit gut die in der Schale vorliegenden Druck-Membranspannungen aufnehmen. Die Biegung der Schale muss jedoch durch zusätzliche Bewehrung aufgenommen werden. Daher ist hier zusätzlich nach der Verteilung der Biegespannungen (also der Spannungen, die durch die lokalen Biegemomente in der Schale hervorgerufen werden) gefragt.

Die Idealisierung

Es wird eine lineare statische strukturmechanische Berechnung durchgeführt. Das Modell wird als Geometriemodell aufgebaut und automatisch mit einem Schalen-Elementtyp vernetzt.

Es wird ein Viertel des Kühlturmumfanges idealisiert. Dazu wird eine Symmetrie und eine Antisymmetrie ausgenutzt. Die Randbedingungen an den Modellrändern werden entsprechend eingesetzt.

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Die Diskretisierung

Die Geometriepunkte, die als Stützpunkte der Schalenkontur vorgegeben sind, werden durch einen Spline-Linie verbunden. Ein räumlicher Eindruck des Verlaufes dieser Spline-Linie ergibt sich zum Beispiel in der Ansicht, die hier in der Abbildung rechts gezeigt ist.


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Diese Linie wird nun verwendet, um durch eine Rotation um die z-Achse die Fläche der Kühlturmschale aufzuspannen. Dazu wird ein zylindrisches Koordinatensystem zugrundegelegt, das seinen Ursprung am gleichen Ort wie das globale kartesische System hat, das aber nun die Koordinaten als Radius (x-Wert), Winkel in der x-y-Ebene (y-Wert) und axiale Länge (z-Wert) versteht. In diesem zylindrischen Koordinatensystem wird ein Linienbogen aufgespannt. In der Abbildung rechts sind die Linien erkennbar. Die Fläche der Kühlturmschale wird nun durch ein Herumziehen (sweep, drag) der Konturlinie um den Bogen erzeugt, den die zuletzt erstellte Sweep-Linie bildet.

Die erzeugte Fläche wird nun vernetzt, das generierte FEM-Netz ist in der Abbildung im rechten Teilbild dargestellt.

Bei den Randbedingungen muss in diesem Beispiel besondere Sorgfalt angewendet werden, da die relativ dünnwandige Schale sofort unplausible Ergebnisse zeigt, wenn ein Fehler in der Richtung der Festhaltung gemacht wird oder vielleicht ein Freiheitsgrad in einer Ecke vergessen oder übersehen wird.


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Am unteren Rand schrieb die Aufgabenstellung vor, dass die Auflagerung der Kühlturmschale tangential zur Schale erfolgen soll, um Randstörungen zu vermeiden. Für den unteren Rand des Modells müssen damit Richtungen der Freiheitsgrade festgelegt werden, die nicht mehr den globalen Achsenrichtungen entsprechen, sondern gegenüber diesen gedreht sind. Wenn man sich an jedem Knoten des unteren Randes ein Knoten-bezogenes Koordinatensystem (nodal coordinate system) vorstellt, so muss diese Drehung ein "Kippen" zur Kühlturmachse darstellen. Für jedes dieser Knoten-bezogenen Koordinatensysteme (nodal system) soll eine Achsenrichtung tangential zum Rand gerichtet sein, eine Achsenrichtung nach oben tangential in die Schale einlaufen und die dritte Achsenrichtung normal zur Schalenebene stehen. Alle nach oben tangential in die Schale einlaufenden Richtungen dieser Koordinatensysteme zeigen auf eine Position auf der Kühlturmachse etwa im oberen Drittel der Turmhöhe. Bei genauerer Nachrechnung liegt diese Position etwa in 40 m Höhe.

Die Darstellung in der Abbildung rechts zeigt an jedem Knoten des unteren Randes die jeweils zutreffende Achsenrichtung des nodalen Koordinatensystems, die entlang der vertikalen Tangente der Wandung ausgerichtet ist. Diese Drehung der nodalen Richtungen ist notwendig, weil diese nodalen Koordinatenrichtungen maßgebend für Festhaltungen von Freiheitsgraden und die Richtung von Knotenkräften und -momenten sind. Wir können also nun die Verschiebungen der Knoten des Randes in dieser Achsenrichtung festhalten und damit die tangentiale Auflagerung des Randes verwirklichen.

Der Seitenrand, der aus dem Modellrand mit dem Koordinatenwert y = 0 gebildet wird (jedoch ohne die Ecke, die auch Teil des unteren Randes ist), wird mit symmetrischen Randbedingungen versehen. Die symmetrischen Bedingungen an diesem Rand bei y = 0 beinhalten eine Festhaltung der y-Verschiebungen sowie der Verdrehungen um die x- und die z-Achse.

Entsprechend wird der Seitenrand mit dem Koordinatenwert x = 0 gebildet wird (jedoch ohne die Ecke unten, die auch Teil des unteren Randes ist), mit antisymmetrischen Randbedingungen versehen. Die antisymmetrischen Bedingungen an diesem Rand bei x = 0 beinhalten eine Festhaltung der y- und z-Verschiebungen sowie der Verdrehungen um die x-Achse. Die antisymmetrischen Randbedingungen eines Randes betreffen genau diejenigen Verschiebungen und Verdrehungen, die durch symmetrische Randbedingungen an diesem Rand nicht betroffen wären.

Die Eckpunkte, die sowohl zum unteren Rand als auch zu den seitlichen Rändern gehören, müssen besonders genau angesehen werden, da sie sowohl die Bedingungen des unteren Randes als auch die-jenigen des seitlichen Randes erfüllen müssen. Und zusätzlich sind ihre Freiheitsgradrichtungen gedreht!


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Die Drucklast soll über den Umfang des Kühlturmes linear variieren. An der Position der Schale bei y = 0 (Umfangswinkel 0°) soll ein maximaler Druck von 1 [kN/m2] vorliegen. An der Position der Schale bei x = 0 (Umfangswinkel 90°) soll der Druck Null vorliegen.

Zur grafischen Kontrolle ist in der Abbildung rechts der Druck mit Pfeilsymbolen sichtbar gemacht worden.


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Die Auswertung

Zunächst wird eine grafische Darstellung der Spannungen in z-Richtung (Vertikalrichtung) in der Kühlturmschale erzeugt. Bei der Lösung werden die Spannungen an der Außenseite und der Innenseite der Schalenelemente berechnet. Wenn die Membranspannungen der Mittelebene verlangt werden, so werden die Mittelwerte der Außen- und Innenseite geliefert, da ein linearer Spannungsverlauf über die Dicke der Schale zugrundegelegt wird. Die Spannungen an der Außen- und Innenseite der Schale stellen die Summe der Membran- und Biegespannungen des Schalenmodells dar.

Im allgemeinen sind die Membran- und Biegespannungen maßgebend für die Beanspruchung an der Oberfläche des Schalenbauteils. Im vorliegenden Fall wird die Wand jedoch aus Beton zur Aufnahme der Druckspannungen sowie einer darin enthaltenen Stahlbewehrung zur Aufnahme der Biegezugspannungen ausgeführt. Daher sollte zur Auslegung der Bewehrung die Verteilung der Biegespannungen (also der Spannungen, die durch die lokalen Biegemomente in der Schale hervorgerufen werden) ohne den Anteil der Membranspannung zur Verfügung gestellt werden.


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Wenn nun eine solche Darstellung der Biegespannungen ohne den Membranspannungsanteil (der aus den Normalkräften resultiert) darzustellen ist, so muss eine arithmetische Operation ausgeführt werden. Diese Operation ist eine Subtraktion, bei der von den Spannungen an der Oberfläche (Membran- plus Biegeanteil) die Spannungen in der Mittelebene (Membrananteil) abgezogen werden. Diese Operation wird für alle Knoten des Modells ausgeführt.

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